Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрирование рациональных дробей




Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

 

К этому типу интегралов относятся интегралы вида:

;

;

Мы увидим в дальнейшем, что без умения находить такие интегралы, мы не сможем вычислять интегралы от рациональных дробей.

Сначала научимся находить более простые интегралы видов и .

Трудность заключается в наличии слагаемого bx. Если бы его не было, то, вынося за знак интеграла , получили бы интеграл вида (11) или (12). Решить проблему можно выделением полного квадрата.

Пример 16 .

Решение.

Пример 17 .

Решение.

.

Пример 18 .

Решение.

 

Пример 19 .

Решение.

где - интеграл, рассмотренный в примере 17.

 

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.

.

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:

.

В частности при имеем только одно слагаемое: .

Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида:

,

а при - одно слагаемое .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Пример 20 .

Пример 21 .

Пример 22

.

Пример 23 .

Пример 24 .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С …. Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:

I , III ,

II , , IV .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:

,

которые находятся по рекуррентной формуле:

.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Пример 25 .

Решение.

.

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

.

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

В результате получим:

.

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Пример 26 .

Решение.

.

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Пример 27 .

Решение.

.

Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 28 .

Решение.

.

.

Положим :

 

Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 401; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.