Примеры выполнения заданий

1. Для отображения f: {0,1,3,4} ® {2,5,7,8}, заданного рисунком, найдите f({0,3}), f({1,3,4}), f^- 1(2), f^- 1 ({2,5}), f^- 1 ({5,8}). Решение: f ({0,3}) = {5, 8}; f ({1,3,4}) = {5, 7}; f^- 1 (2) = {Æ}; f^- 1 ({2,5}) = {3, 4}; f^- 1 ({5,8}) = {0, 3, 4}

0 2 1 5 3 7 4 8

2. Выясните, к какому типу относится заданное отображение f:

A = {a, b, c}; B = {2, 4, 6, 8}; f: a® 2; b® 4; b® 6; c® 8;

Решение: находим образы: y = f(x)

f(a) = 2; f(b) = {4, 6}; f(c) =8

Находим прообразы: x = f^--1(y)

f^-1(2) = a; f^-1(4) = b; f^-1(6) = b; f^-1(8) = c;

Все элементы из В имеют прообразы, значит f – сюрьективно.

Т.к элементы 4 и 6 имеют равные прообразы, то f – неинъективно

Следовательно, заданное отображение не является биективным.

3. Пусть f: {1,2,3,5}  {0,1,2}, g: {0,1,2}  {3,7,9,13}, h: {3,7,9,13}  {1,2,3,5} – отображения, показанные на рисунке:

f: 1 0   2 1   3 2

g: 0 3   1 7   2 9

h: 3 1   7 2   9 3   13 5

Нарисуйте композиции отображений:

а) gf; б) hg; в) hf g;

Решение:

а) f  g; 1 3   2 7   3 9   5 13

б) gh; 0 1   1 2   2 3

в) hf; 3 0   7 1   9 2   13

в) hf g; 3 3   7 7   9 9   13 13

4.Установите биективное отображение между множеством
A={1, 6, 11, 16, 21,...} и натуральным рядом чисел.

Решение: поставим в соответствие элементу натурального ряда "n" n↔1+5(n-1), т.е. a_n=1+5(n-1) ÎA

Задания для самостоятельного выполнения

1. Для отображения f: {10,20,30,40} ® {а,б,в,г}, заданного рисунком, найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f ^{- 1}(б), f ^{- 1} ({а,в}), f ^{- 1} ({б,в,г}).

0) 10 а   20 б   30 в   40 г	1) 10 а   20 б   30 в   40 г	2) 10 а   20 б   30 в   40 г	3) 10 а   20 б   30 в   40 г	4) 10 а   20 б   30 в   40 г
5) 10 а   20 б   30 в   40 г	6) 10 а   20 б   30 в   40 г	7) 10 а   20 б   30 в   40 г	8) 10 а   20 б   30 в   40 г	9) 10 а   20 б   30 в   40 г

2. Найдите декартово произведение множеств С = А ´ В:

0)A={1,2,3}; В={7,8,9};	1)A={2,3,4,9}; В={1,7};
2)A= {1,7}; В ={2,4,6,8}	3)A={3,5,10}; В={2,8,9};
4)A={2,3,4,5}; В ={6,10}	5)A={5,6}; В={1,7,9,2};
6)A={10,1,2}; В={1,2,8};	7)A={10,11,12}; В={2,8,9};
8)A={6,9}; В={1,2,3,5};	9)A={2,3,5,6}; В={9,12};

3. Выясните, к какому типу относятся отображения f1: А ®В и f2: А ® В.

0)A={x, y, z};	B={1, 2, 3, 4};	f1: x® 1; y®2; z®3;	f2: x® 4; y®1; z® 4;
1)X={a,b,c,d,e};	Y={2, 4, 6};	f1: a®2 b®2; c®4; d®6;	f2: a®2; b®4; c®4; d®6; e® 6;
2)A={1, 2, 3, 4};	B={a, b, c, d};	f1: 1®a; 2®b; 3®c; 4®d;	f2: 1® b; 2®c; 3®d; 4®d;
3)X={a, b, c};	B={1, 2, 3, 4, 5};	f1: a®1; b®2; c®4;	f2: a® 1; b®1; c®3;
4)A={x, y, z};	B={1, 2, 3, 4};	f1: x® 1; y®2; z®4;	f2: x® 1; y®3; z® 4;
5)A={1, y, z};	B={ 2, 3, 4};	f1: 1® 2; y®2; z®3;	f2: 1® 2; y®3; z® 4;
6)X={a, b, c, e};	Y={2, 5, 6};	f1: a®2 b®2; c®5; e®6;	f2: a®6; b®5; c®5; e®2;
7)A={2, 3, 4, 5};	B={a, b, c};	f1: 2®a; 3®a; 4®b; 5®c;	f2: 2® a; 5®b; 3®c; 4®c;
8)X={2, b, c};	B={ 3, 4, 5};	f1: 2®3; b®5; c®5;	f2: 2®4; b®3; c®5;
9)A={x, y, 3};	B={ 2, 4, 5, 7};	f1: x® 2; y®2; 3®7;	f2: x® 4; y®5; 3®2;

4. Пусть f: {1,2,3}  {1,2,3}, g: {1,2,3}  {1,2,3}, h: {1,2,3}  {1,2,3} – отображения, показанные на рисунке:

f: 1 1 2 2 3 3

g: 1 1 2 2 3 3

h: 1 1 2 2 3 3

Нарисуйте композиции отображений:

0) gf g	1) hgf	2) hf g	3) gh g	4) hf h
5) fgf	6) gf h	7) hgh	8) f hf	9) gh f

3. Пусть A = {1, 2, 3}. Установите, является ли каждое из приведенных ни­же отношений R, заданных на множестве А, отношением эквивалентности.

а) R₁ = {(2,2), (1,1), (1,2)};

б) R₂ = {(1,1), (2,2), (3,3)};

в) R₃= {(1,1), (2,2), (3, 3), (1,2), (2,1), (3,1), (1, 3)};

г) R₄ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(3,2),(2,1)};

д) R₅ = {(1,1),(1,2),(3,3),(2,2),(3,2),(2,3),(2,1)};

е) R₆ = {(1,1),(1,3),(2,3),(1,2),(3,2),(2,1),(3,1)};

Контрольные вопросы

по теме «Элементы теории множеств»

А	Сколько существует подмножеств у конечного множества? Почему?
Б	Какими свойствами обладает операция пересечения множеств?
В	Что понимается под “элемент”, “множество”, “подмножество”?
Г	Какими свойствами обладает операция объединения множеств?
Д	Как проиллюстрировать диаграммами Венна дистрибутивные законы?
Е	Что такое мощность множества?
Ё	Какие множества имеют несчетную мощность?
Ж	Какие множества имеют счетную мощность?
З	Какими свойствами обладает операция пересечения множеств?
И	Какими свойствами обладает универсальное множество?
Й	Какие множества эквивалентны множеству натуральных чисел?
К	Как проиллюстрировать диаграммами Венна законы поглощения?
Л	Как формулируются законы Де Моргана над множествами?
М	Какие множества называются несобственными?
Н	Какими свойствами обладает операция разности множеств?
О	Как доказать эквивалентность двух множеств?
П	Какие способы задания множеств вы знаете?
Р	Какими свойствами обладает пустое множество?
С	Какие операции выполняются над множествами?
Т	Как проиллюстрировать диаграммами Венна законы ДЕ Моргана?
У	Какие множества называются равными?
Ф	Какими свойствами обладает операция симметрической разности?
Х	Какие множества называют равными?
Ц	Как проиллюстрировать диаграммами Венна коммутативные законы?
Ч	Какими свойствами обладает операция дополнения до универсума?
Ш	Как формулируются законы поглощения теории множеств?
Щ	В чем отличие понятий “принадлежность множеству” и “включение в множество”?
Ъ	Как проиллюстрировать диаграммами Венна ассоциативные законы?
Ы	Какие Вам известны виды отображений множеств?
Ь	Какие множества называют эквивалентными?
Э	Какими свойствами обладает операция объединения множеств?
Ю	Какие отношения множеств Вам известны?
Я	Какие множества называют конечными, бесконечными?

Глава 2. Элементы математической логики

Практическое занятие №6. Основы алгебры
логики

Цель занятия:	1.	получить навыки в записи сложных высказываний формулами алгебры логики;
	2.	изучить основные понятия и законы алгебры логики;
	3.	получить навыки в применении законов и равносильностей алгебры логики к преобразованию сложных высказываний.

Дата добавления: 2014-11-20