Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Задачи по сопротивлению материалов




Задача С1.

Абсолютно жесткий горизонтально расположенный брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 1). Один стержень име­ет поперечное сечение А, другой – . На брус действует верти­кальная сила F, приложенная в указанной на рисунке точке. Тре­буется:

1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу F;

2) найти допускаемую нагрузку Fдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [ ] = 160 МПа;

3) найти предельную грузоподъемность системы и допускае­мую нагрузку F’до п , если предел текучести Т=240 МПа и запас прочности s= 1,5;

4) сравнить величины Fдоп, полученные при расчете по допус­каемым напряжениям (п. 2) и допускаемым нагрузкам F’доп (п. 3). Дан­ные взять из табл. 1.

 

Рис. 1

 

 

Таблица 1

Вариант Данные величины Вариант Данные величины
А·104, м2 а, м b, м с, м α, рад А·104, м2 а, м b, м с, м α, рад
    2,5 3,1 1,0 π/4     2,6 3,6 1,2 π/4
    2,2 3,2 1,0 π/4     2,7 3,7 1,5 π/4
    2,3 3,3 1,1 π/4     2,8 3,8 1,4 π/4
    2,4 3,4 1,1 π/4     2,9 3,9 1,4 π/4
    2,2 3,3 1,2 π/4     3,1 3,9 1,2 π/4

 

Пример 1С

Рис. 2

 

Дано: абсолютно жесткий стержень ВС, рис. 2, где а =4 м; b =2 м; с =3 м; А = м2; =450. Выполнить задание согласно выше приведенным требованиям.

Решение

1. С точки зрения статики для данной конструкции можно написать три уравнения равновесия, а число неизвестных четыре. Требуется еще одно уравнение. Дополнительное уравнение можно составить, рассматривая деформацию системы. Пренебрегая деформацией стержня ВС, для его нового положения ВС’ можно найти из подобия треугольников соотношение между и , что дает дополнительное уравнение, а именно

. (1.1)

Значения линейных деформаций входящих в это уравнения будут следующие:

где

Подставляя эти значения в уравнение (1.1) и принимая Е1 = Е2, получаем

или с учетом числовых значений

. (1.2)

В этом соотношении два неизвестных F1 и F2. Для их определения требуется еще одно уравнение, которое получим из условия равновесия моментов сил относительно шарнира В

.

Подставляя числовые значения, получаем

. (1.3)

Решая систему уравнений (1.2) и (1.3), получаем усилия в подвесках выраженные через силу F, т.е.

;

.

Напряжения в стержнях равны

Па;

Па.

2. Для определения допускаемой нагрузки большее напряжение из двух стержней приравнивается к допускаемому напряжению МПа, т.е.

Па.

 

Отсюда

н =278,3 кН.

3. Определяем предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку, если предел текучести материала стержней МПа, а коэффициент запаса прочности S = 1,5.

При увеличении нагрузки напряжение во втором стержне достигает предела текучести ранее, чем в первом. Когда это произойдет, напряжение во втором стержне не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки, система станет как бы статически определимой, нагруженной силой F (пока еще неизвестной), а усилие во втором стержне составит

кН. (1.4)

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение и в первом стержне достигнет предела текучести и тогда

кН. (1.5)

Написав уравнение статики (1.3) и подставив в него значения полученных усилий в стержнях из (1.4) и (1.5), найдем предельную грузоподъемность , что соответствует для данного случая кН.

Далее определяется допускаемая нагрузка, если коэффициент запаса прочности

кН.

4. При сравнении величин и , полученных при расчете по допускаемым напряжениям (п. 2) и по допускаемым нагрузкам (п. 3), получаем, что во втором случае полезная нагрузка F на 30,8 % больше, что объясняется деформацией более нагруженного стержня за счет текучести материала стержней.

 

Задача C2.

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис. 3). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые пе­ремещения относительно лево­го конца.

 

 

 

Рис. 3

Требуется:

1) построить эпюру крутя­щих моментов по длине вала;

2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность; полученные значения округлить;

3) построить эпюру дейст­вительных напряжений круче­ния по длине вала;

4) построить эпюру углов закручивания, приняв G= 0,4 Е.

Данные взять из табл. 2.

 

Таблица 2

 

Вариант Расстояния, м Моменты, кНм , МПа
а b с Т1 Т2 Т3 Т4
  1,0 1,0 1,0 5,1 2,1 1,1 0,1  
  1,1 1,1 1,1 5,2 2,2 1,2 0,2  
  1,2 1,2 1,2 5,3 2,3 1,3 0,3  
  1,3 1,3 1,3 5,4 2,4 1,4 0,4  
  1,4 1,4 1,4 5,5 2,5 1,5 0,5  
  1,5 1,5 1,5 5,6 2,6 1,6 0,6  
  1,6 1,6 1,6 5,7 2,7 1,7 0,7  
  1,7 1,7 1,7 5,8 2,8 1,8 0,8  
  1,8 1,8 1,8 5,9 2,9 1,9 0,9  
  1,9 1,9 1,9 6,0 3,0 2,0 1,0  
                   

 

Пример С2

Для вала, представленного на рис. 4, выполнить расчеты и сделать построения согласно требований задачи С2. Исходные данные: Т1 = 10 кНм; Т2 =3 кНм; Т3 =1 кНм; Т4 =2 кНм; а =2 м; b =1 м; c =1,5 м; =50 МПа.

Решение

1. Поскольку правый конец вала свободный, то построение эпюры Мкр целесообразно проводить справа налево (если построение вести слева направо, то необходимо дополнительно найти реакцию в опоре). Мысленно проводим поперечное сечение на каждом участке и отбрасываем левую часть. Для уравновешивания оставшейся правой части требуется приложить в сечении момент Мкр.

На четвертом участке: кН.

На третьем участке: кН.

На втором участке: кН.

На первом участке: кН.

Согласно полученным значениям строим эпюру Мкр, рис. 4.

2. Определяем диаметры вала d1 и d2 из условия прочности

,

где – момент сопротивления для круглого сечения, м3. Отсюда получаем

.

Для участка 1-2 м = 84 мм.

Для участка 3-4 м = 67 мм.

Полученные диаметры округляем до ближайшего большего значения из предпочтительного ряда d1 =85 мм, d2 =70 мм.

3. Строим эпюру касательных напряжений, определяя на каждом участке:

на первом участке МПа;

на втором участке МПа;

на третьем участке МПа;

на четвертом участке МПа.

По полученным значениям , соблюдая масштаб, строится эпюра касательных напряжений. Ординаты эпюры откладываем в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры Мкр. Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры считается условным.

4. Строим эпюру углов закручивания вала. Построение производится слева направо, т.к. угол поворота поперечного сечения вала в опоре равен нулю и является началом отсчета. Угол закручивания на каждом участке длиной li определяется как

,

где Ii полярный момент инерции, м4, для круга ; G – модуль упругости второго рода, для стали в среднем МПа.

На первом участке рад. = -0,110.

На втором участке рад. = 0,0860.

На третьем участке рад. = 0,130.

На четвертом участке рад. = 0,120.

В пределах каждого из участков вала эпюра линейная, поэтому достаточно знать углы поворота только для граничных сечений участков (рис. 4). Общий угол закручивания правого торца вала относительно левого торца равен алгебраической сумме углов закручивания по участкам, т.е.

.

Эпюра строится последовательно с учетом знаков Мкр, начиная с левого торца, где .

 

Рис. 4

Задача С3

Для заданной схемы балки (рис. 5) требует­ся построить эпюру поперечных сил и эпюру изгибающих мо­ментов, найти максимальный изгибающий момент Mmax и по нему подобрать стальную двутавровую балку с указани­ем ее номера по ГОСТ 8239 – 72.

Допускаемое напряжение на изгиб принимается МПа. Данные для расчета взять из табл. 3. Некоторые значения моментов сопротивления сечения при изгибе Wx для балок двутаврового сечения (ГОСТ 8239 – 72) приведены в табл. 4.

Варианты Данные величин
а, м b, м с, м l, м Изгибаю- щий мо­мент М, кНм Сосредо- точенная сила F, кН Равномерно распределяе­мая нагруз- ка q, кН/м
  2,0 3,2 1,8        
  2,2 3,4 1,9        
  2,4 3,6 2,0        
  2,6 3,8 2,1        
  2,8 4,0 2,2        
  3,0 4,2 2,3        
  3,2 4,4 2,4        
  3,4 4,6 2,5        
  3,6 4,8 2,6        
  3,8 5,0 2,7        

 

Таблица 3

 

Таблица 4

Избранные значения моментов сопротивления для двутавровых балок

 

Номер балки                    
Wx, см3 39,7 58,4 81,7              

 

 

Рис. 5

Пример С3

Для балки, представленной на рис. 6, выполнить построение и расчеты согласно требованияй задачи С3.

Исходные данные: М=4 кНм; Р=2 кН; q=2 кН/м; а=2 м; b=2 м; с=3 м; МПа.

Решение

Определяем реакции в опорах балки RA и RВ. Для этого составляем уравнения равновесия балки

С учетом числовых значений

Из второго уравнения кН.

Из первого уравнения кН.

Строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M (рис. 6), начиная с первого участка слева направо. Мысленно проводим сечение на расстоянии x от левого конца балки, отбрасываем правую часть и рассматриваем оставшуюся левую часть в равновесии, для этого в сечении прикладываем поперечную силу Qi и момент Mi.

На первом участке ;

кНм.

На втором участке ;

при х2 имеем кН, кНм;

при х2=(a+b) кН, кНм.

На третьем участке

 

При кН,

кНм;

при кН, .

 

Рис. 6

Определяем на втором участке , который возникает при . Если , то получаем м. Это числовое значение подставляем в уравнение моментов на втором участке и тогда кНм. По полученным значениям, соблюдая масштаб, строим эпюры Q и М.

Подбираем стальную двутавровую балку из условия расчета на прочность . Отсюда м3. Ближайшее большее табличное значение момента сопротивления W соответствует двутавровой балки № 12, у которой W=58,4 см3.

 

Задача С4.

Стальной стер­жень длиной l сжимается си­лой F (рис. 7). Стержень име­ет различные схемы закрепле­ния концов (два типа) и различные формы поперечного се­чения (пять видов). Всего де­сять типов задач. Для схем I, III, V, VII, IX коэффициент приведения длины = 2/3, для схем II, IV, VI, VIII и X – = 1. Требуется:

1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напря­жении [ ]=160 МПа (расчет производить последовательными при­ближениями, предварительно приняв величину коэффициента =0,5);

2) найти числовое значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости. Данные взять из табл. 5.

 

Варианты Данные величины
F, кН l, м
    2,5
    2,1
    2,4
    2,3
    2,4
    2,3
    2,2
    2,5
    2,0
    2,5

Таблица 5

Рис. 7

 

 

Пример С4

 

Рис. 8   Для стержня, представленного на рис. 8 с исходными данными: l=2 м; F=300 кН; материал Ст3,провести расчеты согласно требований задачи С4.    

Решение

Для стержня, закрепленного согласно рис. 8, коэффициент приведенной длины =0,5.

Площадь сечения

. (1.5)

Момент инерции .

Радиус инерции .

Определяем размеры поперечного сечения стержня методом последовательного приближения. Предварительно принимаем величину коэффициента продольного изгиба . Площадь поперечного сечения А определим через допускаемое напряжение МПа

м2. (1.6)

Приравнивая значения из формул (1.5) и (1.6), получаем м. Тогда радиус инерции м, а гибкость стержня определится как

.

Этому значению, интерполируя табличные данные (табл. 6), соответствует коэффициент продольного изгиба

.

Полученное значение существенно отличается от первоначального значения (). Повторяя выше приведенные расчеты, но со значением , получаем

м2;

м;

м;

.

Новому значению соответствует . Расчет повторяем, приняв , получаем

м2;

м;

м;

.

Для имеем . С учетом этих значений

м2;

м;

м;

.

После трехкратного повторения значения а и стабилизировались с погрешностью менее 1 %, что вполне допустимо. Следовательно, мм, .

Используя найденные значения, определим критическое напряжение в стержне

МПа.

Критическая сила определится как

кН.

Коэффициент запаса устойчивости для данного случая

.

Таким образом получили: размер сечения мм, критическая сила кН, коэффициент запаса устойчивости .

 

Таблица 6

Значения коэффициента продольного изгиба

Гибкость     для
стали СтЗ, Ст4 стали Ст5 чугуна СЧ12-28, СЧ15-32, СЧ18-36, СЧ21-40 дерева (сосна, ель)
  1,00 1,00 1,00 1,00
  0,97 0,96 0,91 0,97
  0,92 0,90 0,69 0,87
  0,86 0,80 0,44 0,71
  0,81 0,74 0,34 0,61
  0,75 0,67 0,26 0,49
  0,69 0,59 0,20 0,38
  0,60 0,50 0,16 0,31
  0,52 0,43 - 0,25
  0,45 0,37 - 0,22
  0,36 0,28 - 0,16
  0,29 0,23 - 0,12
  0,23 0,19 - 0,10
  0,19 0,15 - 0,08
  0,16 0,13 - -



Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-10; Просмотров: 7447; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.104 сек.