Изображение периодического сигнала

Теорема (о смещении изображения)

. (14)

В самом деле, для оригинала изображение находится по формуле (1)

.

Число может быть действительным или комплексным, .

ПРИМЕР 17. Найти изображение оригиналов , , .

Решение. Из примера 7 . По теореме (14) имеем

.

Аналогично

, .

Задание

1. Найти изображения функций:

а) б)

в) .

Ответы: а) ; б) ;

в) .

2. Найти изображения оригиналов:

а) , б) ; в) .

Ответы: а) ; б) ; в) .

Если есть –периодическая функция, то –
периодический оригинал. График его есть график функции, построенный на и периодически продолженный на . Представим изображение периодического оригинала в виде

.

Во втором интеграле проведем замену переменной интегрирования . Тогда

,

отсюда . (15)

ПРИМЕР 18. Найти изображение периодического прямоугольного импульса (см. рисунок).

Решение. Вычислим интеграл

.

Применяя формулу (15), получаем изображение

.

ПРИМЕР 19. Восстановить периодический сигнал (оригинал) по
известному его изображению , .

Решение. Представим в виде суммы функционального ряда, пользуясь формулой суммы убывающей геометрической прогрессии:

,

здесь для . Оригинал запишем, используя формально свойство аддитивности преобразования Лапласа для бесконечного множества слагаемых:

.

График оригинала представлен схематично на рисунке.

Задание

1. Найти изображение периодического оригинала,
схематично заданного на рисунке.

Ответ: .

2. Восстановить оригинал для .
Оригинал представить схематичным рисунком.

Ответ:

Дата добавления: 2014-12-16