Теорема Бореля

Если функции и – оригиналы и , и , , то произведение изображений является изображением свертки соответствующих оригиналов для :

. (22)

В самом деле, по определению изображения имеем

.

Замечаем, что справа стоит двойной интеграл с областью интегрирования , изображенной на рисунке. Изменяя в этом интеграле порядок интегрирования, получаем

.

Замена переменной интегрирования позволяет записать

.

Поскольку внутренний интеграл не зависит от , а внешний от , то двойной интеграл равен произведению двух интегралов, т.е.

.

Теорема Бореля применяется для нахождения оригинала в
случае, когда изображение представлено в виде двух множителей, для каждого из которых оригинал устанавливается.

ПРИМЕР 33. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Представим . Так как и , то

.

Вычисляя интеграл

, получаем .

Заметим, что для нахождения оригинала можно было разложить

на простейшие дроби и использовать табл. 2.

ПРИМЕР 34. Решить дифференциальное уравнение при .

Решение. Пусть . Тогда операторное уравнение имеет вид , откуда . Найти оригинал можно различными способами.

1. разложим на простейшие дроби

,

откуда имеем . Применяя метод неопределенных коэффициентов, получаем , , ; поэтому имеем

, .

2. Найдем оригинал по формуле обращения. Функция имеет три простых полюса , . По формуле (19) получаем

, .

3. Применим теорему Бореля, представив в виде произведения изображений:

.

Поскольку, , то , .

Таким образом, окончательно получаем решение дифференциального уравнения , .

Задание. Используя теорему Бореля, найти оригинал по изображению а) ; б) .

Ответы: а) , ; б) , .

Дата добавления: 2014-12-16