Восстановление оригинала

Для использования операционного исчисления при решении
задач нужно не только уметь находить изображение оригинала, но и по изображению восстанавливать соответствующий ему оригинал. Для этого полезны следующие таблицы.

Таблица 1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Оригинал	Изображение
,

Окончание табл. 1

,
, – период

Таблица 2

ПРОСТЕЙШИЕ ОРИГИНАЛЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
,
Окончание табл. 2

Здесь приведены наиболее часто встречающиеся в задачах простейшие оригиналы и их изображения. Некоторые из них были получены ранее и выделены в рамках. Остальные рассмотрены ниже в примерах.

ПРИМЕР 20. Найти оригинал для изображения .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . Коэффициенты и находим по методу неопределенных коэффициентов: , , следовательно,

.

Итак, имеем соотношение .

Аналогично устанавливаются формулы

,

.

ПРИМЕР 21. Найти оригинал для изображения .

Решение. Имеем (см. пример 7). Интегрируя оригинал (см. табл. 1), получаем

.

Рассмотрим несколько примеров нахождения изображений и восстановления оригиналов с помощью табл. 1 и 2.

ПРИМЕР 22. Найти оригинал , если его изображение есть .

Решение. Изображение разложим на простейшие дроби: . Но , . Окончательно имеем .

ПРИМЕР 23. Пусть . Найти .

Решение. .

Пользуясь таблицей, находим , , следовательно, .

ПРИМЕР 24. Пусть . Найти .

Решение. Преобразуем заданное изображение:

.

Воспользуемся свойством интегрирования оригинала: по таблице находим , тогда .

Из табл. 2 находим , или . Следовательно, искомый оригинал .

ПРИМЕР 25. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Решение. а) по табл. 2 находим и .
По табл. 1 учитываем запаздывание аргумента оригинала, а именно и

. Окончательно получаем оригинал , или

б) аналогично имеем последовательно , .

ПРИМЕР 26. Найти оригинал по его изображению .

Решение. Сначала пытаемся найти оригинал сразу по табл. 2, но в данном примере это не удается. Поэтому сведем к табличным выражениям, преобразуя следующим образом:

.

По табл. 2 находим и или .

Окончательно оригинал запишется так:

.

Таким образом, для отыскания оригинала по известному
изображению иногда можно представить изображение в виде суммы табличных изображений, затем найти оригинал каждого слагаемого, а результаты сложить. Обращение преобразования Лапласа в общем виде рассмотрено далее.

Задание. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Ответы: а) ;

б) .

Дата добавления: 2014-12-16