Карно теоремасы 2 страница

Нұсқау: Егер 2x > 70 ақихат болса x < 100 теңсіздігінен басқа барлық теңсіздіктер ақихат болып есеп шарты орындалмайды. Бұдан х ≤ 35 болады. Сондай-ақ 3x > 25 теңсіздік жалған, немесе х х ≤ 8 кезде 3 теңсіздік жалған болатына көз жеткіз.

4. Тіктөртбұрышты перпендикуляр екі түзу арқылы төрт кіші тіктөртбұрышқа бөлген. Олардың үшеуінің ауданы 3, 4, 5, екені белгілі. Төртінші тіктөртбұрыштың ауданын тап.

Нұсқау:

?

Суретті төменгідей етіп жалғастырсақ:

х	х	х	Х

Жауап:

5. Қосындының мәнін есепте:

Нұсқау: Бөлімдері бірдей бөлшектерді бір жақшаға топтап ал. Жауап: 502.

Алтыншы нұсқа

1. 25 тақ санның көбейтіндісі 25-пен аяқталады. Осы сандардың ішінде көбейтіндісі 25 санмен аяқталатын 3 сан бар екенін дәлелде.

Нұсқау: 25-пен аяқталатын натурал сан 25-ке бөлінеді. 25 саны ең көп дегенде екі санның көбейткіштерінің құрамына кіре алады. (25 немсесе 5 х 5). Сондықтан берілген сандардан көбейтіндісі 25-ке бөлінетін 2 сан таңдай аламыз. Қалған 23 санды 4-ке бөлгенде 1 немесе 3 қалдық қалады. Егер 1 қалдық қалатын кемінде 1 сан тауылса есеп шарты орындалатынын, 1 қалдық қалатын бірде бір сан тауылмауы мүмкін емес екенін көрсет.

2. n, m сандары n+m=2 шартын қанағаттандырса nm<1 болатынын дәлелде.

Нұсқау: және есеп шартынан бұдан -ді түрлендір.

3. Шеңбер бойында тізбектелген 3 натурал сан берілген. Бір реткі амалда шеңбер бойында қатар орналасқан әр екі санның ортасына олардың қосындысын жазу амалын орындайды. Осы амалды 5 рет орындағаннан соң шеңбер бойындағы барлық сандардың қосындысы 4374 болған болса алғаш шеңберге қандай 3 сан жазылған.

Нұсқау: Әр амал нәтижесінде шеңбер бойындағы әр сан өзінің екі жақ көршісімен екі санның құрамына қосылатындықтан шеңбер бойындағы сандардың қосындысы үш есе артып отырады.

Жауап: 5, 6, 7,

4. 10 х 10 шаршыны 1 х 4 тіктөртбұрыштарға дәл бөлуге болама?

Нұсқау: Есепті екі тәсілмен шешуге болады. 1-тәсіл: Шаршының көздерін сурет-9 дағыдай бояса, екінші тәсіл: кесте көздеріне 1, 2, 3 цифрларын сурет-10-дағыдай етіп орналастыру керек. Егер 10 х 10 шаршыны 1 х 4 тіктөртбұрыштарға дәл бөлуге болса 25 тіктөртбұрыш шығады.

5. 4 х 9 тіктөртбұрышын 3 кесіндіден құралатын қисық сызық арқылы тең екі бөлікке, осы бөліктер арқылы шаршы құрастыруға болатындай етіп бөл.

Жетінші нұсқа

1. 1; 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 5;... тізбегінің а) 200-інші мүшесін тап. б) Алғашқы 200 мүшенің қосындысы нешеу шығады?

Нұсқау: а) Тізбектің тізбектелген натурал сандардан тұратын мүшесінің саны сәйкес 1; 2; 3; 4;... тізбегін құрайтын топтардан тұратынын көреміз. Бұдан 1 + 2 + 3 + 4 = 10 –ыншы мүше 4-ке тең, 1 + 2 + 3 +.... + 18 + 19 = 190, 200 – 190 = 10 болатынын ескеріп қорытынды жаса.

Жауап: 10

б) Алғашқы 19 топтағы сандардың қосындысына 20-ыншы топтың алғашқы 10 санның қосындысын қосу керек.

2. Жаяу жарыс бәсекесіне қатысқан 6 оқушының 1-шісі 3-іншісінен 5 секунд бұрын, 2-шісі 4-іншісінен 6 секунд, 4-іншісі соңғыдан 8 секунд бұрын комбеге жеткен болса алдыңғы оқушы соңғы оқушыдан қанша уақыт бұрын комбеге жеткен.

3. 1-ден 8-ге дейінгі сандарды кубтың төбелеріне, әр жақтарындағы төрт санның қосындысы тең болатындай етіп орналастыруға бола ма?

Нұсқау: Әр сан бір төбеде түйілісетін 3 жақтағы сандардың қосындысына есептелінеді де кубтың 6 жағы бар. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 болғандықтан әр жақтағы 4 санның қосындысы 36 х 3: 6 = 18 болу керек.

4. Шаппашылар тобы бір-біріне екі есе үлкен 2 алаңның шөбін шабуға шықты. Олар түстен бұрын үлкен алаңды шауып, түстен кейін тең жартысы үлкен алаңның қалған шөбін шауып бітірді де екінші жартысы кішкене алаңның шөбін шапты. Кешке жұмыс аяқталғанда кішкене алаңнан бір адам бір күнде шабатындай жер қалған болса топта барлығы неше адам болған.

Нұсқау: Кіші алаңдыүш бөлік деп көрсек үлкен алаң 6 бөлік болады да түстен бұрын оның 4 бөлігін, түстен кейін 2 бөлігін шабатынын ескер. Жауап: 8

5. Сұрау белгісінің орынындағы санды тауып, қосындының мәнін есепте.

Сегізінші нұсқа

1. Бір қатарға жазылған бір топ бүтін саннан қатар орналасқан 17 санды қалай таңдаса да қосындысы жұп ал осындай қатар орналасқан 18 сан алсақ қосындысы тақ сан шығады. Топта ең көп дегенде неше сан болады?

Нұсқау: Берілген сандарды деп алсақ жұп, ал тақ сан болады. Бұдан тақ сан. Сондай-ақ жұп болу керек те тақ болады. Сол сияқты тақ тақ деген сияқты сандарының бәрі тақ, ал жұп, сандарының бәрі тақ болатыны шығады. Жауап: Ең көп дегенде 34 сан

2. Тола құм салынған қаптың түбін бір тессе құм 1 сағатта ағып таусылады. Осындай толы екі қап құмды пайдаланып 45 минут уақытты қалай өлшеуге болады?

Нұсқау: Қапты екі тессе 30 минутта, төрт тессе 15 минутта ағып таусылатынын ескер.

3. Тақтаға 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, сандарын бір қатарға жазған. Келесі қатарда көрші екі санның астына оладың көбейтіндісін жазу амалын ең соңында бір ғана сан шыққанша жалғастырамыз. Осы сан неше 0-мен аяқталады.

Нұсқау: Екінші қатардан бастап жазылуға тиісті көбейтінділердің орнына олардың аяқталатын нөлдерінің санын жазып отырсақ 8-інші қатарда бір ғана сан шығады. Бұл есептің жауабы болады.

Жауап: 43 нөлмен аяқталады.

4. санды өрнегінің мәнін есепте.

Тоғызыншы нұсқа

1. Үш монетаның ішіндегі салмағы өзгеше бір жалған монетаны табақты таразымен екіден артық емес рет өлшеп қалай табады?

2. Суретте І, ІІ, ІІІ, ІҮ квадраттары кескінделген. І квадраттың перимері 16 см, ІІ квадраттың ауданы 36 см болса ІҮ квадраттың периметрін тап. Төрт квадраттан құралған фигураның ауданы неше см болады?

3. Қосындысы 407-ге тең үш натурал санның көбейтіндісі ең көп дегенде неше нөлмен аяқталады?

4. Төрт тиынның әр қайсысы 100-ден кем емес шәкілдеуік, төртеуі бірігіп 2009 шәкілдеуік жеген. Бірінші тиынның жеген шәкілдеугінің саны ең көп, ал екінші мен үшінші тиындар бірігіп 1265 шәкілдеуік жеген болса тиындардың әр қайсысы неше шәкілдеуік жеген?

5. 15 оқушының оқулықтарының біріккен саны 100 болса олардың кемінде екеуінің оқулықтарының саны тең болатынын дәлелде.

Оныншы нұсқа

1. 1; 2; 3; 4;...; 97, 98 сандарын әр топтағы ең үлкен сан сол топтағы басқа барлық сандардың қосындысына тең, және әрбір сан бір ғана топқа кіретіндей етіп, бірнеше топқа бөлуге болама?

Нұсқау: Әр топтағы сандардың қосындысы жұп болуға тиісті екеніне көз жеткіз. 1-98 ге дейінгі сандардың қосындысының тақ жұптығын анықта.

2. Периметрі 26 см төртбұрыштың диагоналы оны периметрі 22 см жәе 18 см болатын екі үшбұрышқа бөледі. Осы диагоналдың ұзындығын тап.

3. 2555553 және 4777777773 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін тап.

Нұсқау: 2555553 = 23 х 111111, 47777777773 = 43 х 111111111 болатынын анықта. 23 пен 43 өзара жай болатындықтан берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлімі 111111, 111111111 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне тең болады.

4. Тақтаға тізбектес 10 сан жаз. Олардың біреуін өшіргенде қалған сандардың қосындысы 2011-ге тең болса, тақтада қандай сандар қалған?

Нұсқау: Тізбектес 10 санның ең кішісін х десек, олардың қосындысы 10х + 45 болатынын көрсет. Өшірілген сан х + у, түрінде десек, қалған сандардың қосындысы 10х + 45 - (х+у) = 2001 немесе 9х + 45 = 2011 + у. Теңдеудің сол жағы 9-ға бөлінетінін пайдаланып у, одан х-ті тап.

5. өрнегіндегі А, В-нің мәндерін тауып, қосындыны есепте.

Онбірінші нұсқа

1. 2211² + 2010² + 2010² ∙ 2211² саны бүтін санның квадраты болатыны көрсет.

Нұсқау: 2211 = 11 ∙ 201, 2010 = 10 ∙ 201 болатынын пайдаланып ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығар.

2. Кубтың қыры 0,5 метр. Осы кубты қыры 2 мм кішкентай кубиктерге бөлді де Оларды бір түзу бойымен жақтарын тиістіріп қатарластырып қойды. Осы қатардың ұзындығын тап. Жауап: 31,25 км

3. Екі оқушы бірден 39-ға дейінгі сандардан кезекпен бір бір сан алып ойнайды. Барлық сандарды алып болғаннан кейін өздерінің алған сандарының көбейтіндісін есептейді. Қайсысының көбейтіндісінің соңғы 5 цифрынан тұратын сан үлкен болса сол оқушы жеңеді. Дұрыс ойнаса қай оқушы жеңетінін анықта.

Нұсқау: Әр оқушы құрамына 5 көбейткіші кірмейтін санды таңдау мен қатар, қарсыласына сандарының көбейтіндісі бес 0 мен аяқталатындай сандарды таңдатуды ойлайды. 1-ден 39 сандарының ішінде 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, сандарының құрамында сегіз 5 көбейткіші бар.

Жауап: Дұрыс ойнаса екінші ойыншы жеңеді.

4. Бірдей 13 монетаның біреуі салмағы басқасынан ауыр жалған монета. Гирсіз екі табақты таразымен ең кем дегенде неше рет өлшеп жалған монетаны табуға болады?

Жауабы: 3 рет.

5. Үш тасбақа 30 м қашықтықа жарысады. Біріншісі көмбеге жеткен кезде екіншісі көмбеден 10 м қашықтықта, ал үшіншісі 2-сінен 4 м озып жүрді. 3-ші тасбақа көмбеге жеткенде 2-сі көмбеден қанша қашықтықта болады?

Нұсқау: I-нің 30м жол жүрген уақытында II 20м, III 20+4=24м жүрген. Бұдан III қалған 6м жол жүрген уақытта II қанша жол жүретінін табу керек.

Онекінші нұсқа

1. Ұзындықтары 1м, 2м, 3м болатын 20 бағанды жол бойына тұрғызған. Ералы 1 басынан аяғына дейін жүріп шыққанда біріншісі екіншісінен аласа, қатар орналасқан екі бағандар пары 13 деп санады. Ол ең соңғы бағанға жетіп кері қайтып, ең алдыңғы бағанға жеткенге дейін дәл сондай парлардың саны 5 екенін айтты. Ол қателесті ме?

Нұсқау: Ол бірінші ретте 13 пар бағанды дұрыс санаған десек, кез келген 3 ағаштың екеуі осы шартты қанағттандырады. 20: 3 = 6 (2), 6 ∙ 2 + 1 = 13 теңдіктерінен ол қайтарда алты пар санауға тиісті екеніне көз жеткіз.

2. Тақ сандарды (1), (3;5), (7;9;11;), (13;15;17;19),... деген сияқты топтарға бөлген. 50-іші топтағы сандардың қосындысын тап.

Жауап: 2451-ден басталған тізбектес 50 тақ санның

қосындысы немесе .

3. Саяхатшы қонақ үйден күндізгі 3 сағатта шығып, кешкі 9 сағатта қайта оралды. Ол жазық жермен 4 км ∕ сағ, тауға өрлегенде 3 км/сағ, еңкейіс жолмен 6 км/сағ жылдамдықпен тоқтамай жүрген болса барлық жолдың ұзындығын тап.

Нұсқау: Барғанда өрге жүрген жолын қайтарда құлдап жүреді. теңдеуін құруға болатытына көз жеткіз. Мұндағы х тегіс емес, у тегіс жол.

4. 4 х 4 кестенің көздерін әр жолға 4 әр түрлі түстер кіретін, ал әр бағанда бірдей түсті көрші көздер болмайтындай етіп, 4 түске бояудың нешн әр түрлі бояулары болады?

Нұсқау: Бірінші жолды бояудың әр түрлі 24 мүмкіндігі, ал келесі жолдардың әр қайсысын бояудың әр түрлі 9 мүмкіндігі болатынына көз жеткіз.

Жауап: 24 х 9 х 9 х 9 = 17496

5. 5•5 шаршыны өлшемдері бүтін сан болатын ешқандай екеуі өзара тең емес жеті тіктөртбұрышқа қалай бөлуге болады? Олардың периметрлерінің қосындысын тап.

Нұсқау: Төменгі нұсқаны пайдалан.

Онүшінші нұсқа

1.

Жауап: 1 + 2 + 3 +... + 2010 = 2010 ∙ 2011: 2

2. 199 х 991 өлшемді тор көзді тіктөртбұрыштың диоганалы неше тор көзді басып өтеді.

Нұсқау: 199; 991 сандары өзара жай болғандықтан тіктөртбұрыштың диоганалы тор көздердің төбе нүктелерін басып өтпейді. Жауап: 199 + 991 + 198

3. 0; 1; 2; цифрларының әрқайсысы 100 рет қайталанып жазылатын 300 таңбалы сан бүтін санның квадраты бола ала ма?

Нұсқау: Санның квадраты 3-ке бөлінсе 9-ға да бөлінуі қажет.

Жауап: Бүтін квадрат бола алмайды.

4. Мен таңғы аста бір стакан сүтсіз кофенің бөлігін ішіп, сүтпен толтырдым да оның бөлігін ішіп, қайтадан сүтпен толтырған соң тағы да бөлігін іштім. Ал кешкі аста тағы да бір стакан сүтсіз кофенің -ін ішіп, сүтпен толтырып -ін ішкен соң сүтпен қайта толтырып, тағы да бөлігін іштім. Мен таңғы және кешкі астың қайсысында көп сүт іштім және неше есе көп екенін анықта.

Нұсқау: Стаканның сиымдылығын х деп алып, таңғы және кешкі астағы ішілген сүттің мөлшерін өрнектейтін екі өрнек құрастырып өзара салыстырып қорытынды жаса. Олардың қатынасын есепте.

Жауа-нұқау: Таңертең , кешке

5. Өсу ретімен орналасқан төрт санның қосындысы 35, ортаңғы екі санның айырмасы 2, алдыңғы үш санның арифметикалық ортасы 7, соңғы үш санның арифметикалық ортасы 10 болса осы сандарды тап.

Онтөртінші нұсқа

1. - нің мәнін тауып қосындыны есепте.

Нұсқау: теңдігін пайдалан.

Жауап: .

2. Тіктөртбұрышты қабырғалары бүтін санға тең әртүрлі шаршыларға бөлген. Ең кіші шаршының қабырғасы 1 см-ге тең болса тіктөртбұрыштың ауданын тап. Нұсқау: А шаршының қабырғасын х-деп алсақ суретте белгіленген өрнектер пайда болады. Бұдан үлкен шаршының қарама қарсы қабырғалары арқылы теңдеу құр.

Жауабы: 1056см²

3. Үш таңбалы санның соңына қандай бір цифр қосып жазғанда алдыңғы саннан 2010-мен артық сан шықса алғашқы үш таңбалы сан және қосылып жазылған цифрды тап.

Нұсқау: Берілген сан десек теңдігі орындалуға тиісті.

4. Кубиктің жақтарына 1; 2; 3; 4; 5; 6 сандары бір бірден жазылған. Кубикті бір рет иіргенде бүйір жақтарындағы төрт санның қосындысы 12, екінші рет иіргенде бұл қосынды 15-ке тең болып түссе 3 саны жазылған жаққа қарама-қарсы жақта қандай сан жазылған.

Нұсқау: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, 21 – 12 = 9, 21 – 15 = 6, 9 = 3 + 6 = 5 + 4, 6 = 1 + 5 = 4 + 2 теңдіктерін пайдалан.

Жауап: 6 саны

5. 1 + 2 + 3 +... + 1234567890 қосындысы 4-ке бөліне ме?

Нұсқау: 1234567890: 2 = 617283945 саны тақ болады.

Жауап: бөлінбейді.

Онбесінші нұсқа

1. -дің мәнін тауып қосындыны есепте.

2. Цифрларының қосындысынан 46 есе үлкен болатын барлық үш таңбалы сандарды тап.

3. Кез келген 100 саннан қосындысы екі нөлмен аяқталатындай бір немесе бірнеше санды таңдап алуға болатынын дәлелде.

Нұсқау: Берілген 100 санды деп белгілеп қосындыларын қарастыр. Дирихле принципін қолдан.

4. 1-суретте кескінделген А; В; С; D тіктөртбұрыштарының периметрлерінің қосындысы 100-ге тең және олардың ендері сәйкес 1; 2; 3; 4. Ортадағы тіктөртбұрыштың периметрін тап.

Нұсқау: 2-суреттегі өрнектерді пайдаланып А; В; С; D тіктөртбұрыштарының периметрлерін өрнектеп, есеп шарты бойынша теңдеу құр. a + b-ні тап.

5. 5, 49, 51 тасты үш бөлек үйме бар еді. Қай бір екеуін біріктіру, немесе тең екі бөлікке бөлу амалдарын тізбектей орындау арқылы барлық тастарды бір бірден қоюға бола ма?

Нұсқау: Белгіленген амал нәтижесінде пайда болатын сандардың тақ жұптық, бөлінгіштік қасиеттерін бағала. 2 тастан тұратын бөліктер шығрып алуға болмайтынына көз жеткіз. Жауап: Болмайды.

Оналтыншы нұсқа

1. Аялдамада тұрғанжеңіл машиналар мен мотоциклдердің саны 45, доңғалақтарының саны 115 еді. Мотоциклдің жетеуі 3 доңғалақты, қалғандары 2 доңғалақты болса, аяалдамада неше машина, неше мотоцикл болған?

2. Сабаққа келмеген оқушылардың саны келген оқушылар санының бөлігіне тең еді. Бір оқушы ұрықсат алып кеткеннен кейін жоқ оқушылар саны сабақта отырғандардың санының бөлігіне тең болған болса сыныпта қанша оқушы болған?

3. 3684*572*саны 36-ға бөлінетіндей етіп *-ның орнына цифр жаз

4. 2, 3, 4, 5, 6, сандарына бөлгенде әр қайсысында 1 қалдық қалады да 7 санына қалдықсыз бөлінетін ең кіші екі санды тап.

5. Берілген шаршыны бірдей төрт фигураға сызықтар бойымен, әр бөлікте бір бір бояалған торкөз болатындай етіп бө

Онжетінші нұсқа

1. Үш монетаның ішіндегі салмағы өзгеше бір жалған монетаны табақты таразымен екіден артық емес рет өлшеп қалай табады?

2. Суретте І, ІІ, ІІІ, ІҮ квадраттары кескінделген. І квадраттың перимері 16 см, ІІ квадраттың ауданы 36 см болса ІҮ квадраттың периметрін тап. Төрт квадраттан құралған фигураның ауданы неше см болады?

3. Тола құм салынған қаптың түбін бір тессе құм 1 сағатта ағып таусылады. Осындай толы екі қап құмды пайдаланып 45 минут уақытты қалай өлшеуге болады?

Дата добавления: 2014-12-16