Байланысты есептер. (V-VI сынып) 2 страница

37. (*). (ҮІІ-ҮІІІ) Шеңбер жолда үш мотоциклші жарысады. І мотоциклші 4,5-ші айналымда ІІ мотоциклшіні, бұдан жарты сағаттың алдында ІІІ мотоциклшіні басып озған. Жарыс басталғаннан кейін 3 сағат өткенде ІІ мотоциклші ІІІ-ні басып озған болса, І мотоциклші сағатына қанша айналым жасайды? Нұсқау: І мотоциклші сағатына x айналым жасайды десек, ол 4,5 айналым жасаған уақытта ІІ мотоциклші 3,5 айналым жасайды. Олай болса ІІ мотоциклші сағатына айналым жасайды. Ал ІІІ мотоциклші сағатына y айналым жасаса; теңдеу құруға болатынына көз жеткізіп, есепті шеш. Есептің шарты бойынша кесте құрып талдау жаса.

38. (*). (ҮІ-ҮІІІ) Үш адам кезектесеіп шөп шауып жүр. Әр адам келесі екеуі барлық алаңды шауып бітіретін уақыттың жартысына тең уақыт жұмсап, барлық алаңды шауып бітірген. Үшеуі қатар жұмыс істесе барлық алаңды бұдан неше есе аз уақытта бітірер еді? Жауабы: 2,5 есе аз.

39. (*). (ҮІ-ҮІІ) Қарақшылар олжаларын төмендегідей етіп тең бөліп алған: І қарақшы 100 доллар және қалған олжаның бөлігін, ІІ қарақшы 200 доллар және қалған олжаның бөлігін, ІІІ-сі 300 доллар және қалған олжаның бөлігін, деген сияқты бөліскен. Қанша мөлшердегі олжаны неше қарақшы бөлісіп алған.

Нұсқау: Ең соңғысы 100n (n қарақшылардың саны) доллар алатынын анықта. Ал оның алдынғысы 100(n-1) доллар және қалғанының бөлігін алу керек. 100(n-1)+10п = 100n теңдігін шығарып ал.

Жауабы: 10 қарақшының әр қайсысы 1000 доллар

40. (*). (Ү-ҮІІ) Алғаш ыдысқа 1 бактерия салынған. Әр бакетерия 30 минут сайын екі бактерия болып бөлінеді де бір сағат қана өмір сүреді. 6 сағат уақыт өткенде тірі бактериялардың сан нешеу болады?

Нұсқау: 30 минут сайын бактериялардың саны екі есе көейіп, бір сағат бұрынғы бактериялар санымен азайатынына көз жеткіз. Туғанына 30 минут толған бактерияны «жас», 1 сағатқа таяғанын «кәрі» деп атап тізбектей есепте.

Жауабы: 233 «жас», 144 «кәрі» барлығы 377 бактерия.

41. (*). (Ү-ҮІІ) Ералынының қызыл және көк түсті таяқшалары бар. Қызыл таяқшалардың әр қайсысының ұзындығы 4 см, ал көк тақшалардың әр қайсысынікі 5 см және барлық таяқшалардың ұзындықтарының қосындысы 5 метр болса Ералы тақшалардың барлығын кірістіріп, және бір де біреуін сындырмай квадрат құрастыра алатынын дәлелде.

Ескерту: (*)- есептер басқаларына қарағанда күрделірек, шығармашылық деңгейде. (ҮІІ-ҮІІІ)- белгісі бұл есеп ҮІІ-ҮІІІ сыныптарға арналғанын аңғартады.

ҮШБҰРЫШТЫҢ ТАМАША НҮКТЕЛЕРІ

§1. Ауырлық центрі және

медиананың қасиеті

Анықтама: Үшбұрыштың төбесін қарсы жатқан қабырғаның орта нүктесімен қосатын кесіндіні үшбұрыш медианасы дейді.

Теорема-1: Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады және осы нүкте арқылы медианалар, төбе нүктесінен бастап 2:1 қатынасында бөлінеді.

Бұл нүктені үшбұрыштың ауырлық центрі деп атайды.

Дәлелдеме: АВС үшбұрышының АВ,ВС,СА қабырғаларының орта нүктелері С₁,А₁,В₁; АА_1,СС₁,

медианаларының қиылысу нүктесін О деп белгілейік.

АО, СО кесінділіерінің ортасы сәйкес А_2, С₂ болса үшбұрыштың орта сызығы туралы теорема бойынша С₁А₁║АС║С₂А₂ және │С₁А₁│= │АС│=│А₂С₂│ Бұдан А₁С₁А₂С₂ төртбұрышы параллелограмм болатындықтан диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Немесе

│А₂О│=│А₂О│ Бұдан болады. Медианалар О және О′ екі нүктеде қиылысады деп көрсек: │АО│:│ОА │=│AO'│:│O'A│=2:1 теңдігінен кесінідіні берілген қатынаста бөлетін нүкте біреу ғана болатындықтан О≡O' екендігі немесе үш медиана бір нүктеде қиылысатындығы дәлелденеді.

1–қасиет: Медианалар үшбұрышты аудандары тең 6 бөлікке бөледі.

Дәлелдеме: Әр медиана үшбұрышты ауданы бірдей 2 бөлікке бөледі және ОС,ОА,ОВ кесінділері сәйкес АОВ, ВОС, АОС үшбұрыштарының медианалары болатындық-тан

S₁=S₂, S₃=S₄, S₅=S₆ S₁ + S₂ + S₃ = S₄ + S₅ + S₆ S₂ + S₃ + S₄ = S₁ + S₆ + S₅ S₂ + S₁ + S₆ = S₃ + S₄ + S₅

теңдік терінен S₁=S₂= S₃=S₄ =S₅=S₆ болатынын оңай шығарып алуға болады. Бұл есептің нәтижесін: Үшбұрыш тәріздес тортты 6 балаға тең бөліп беру сияқты практикалық есепке пайдалануға болады. Сонымен қатар S_AOB= S_BOC= S_AOC= S_ABC болатындығына көз жеткіземіз.

2–қасиет: АВС үшбұрышы үшін теңдігін қанағаттандыратын нүкте біреу ғана ол ауырлық центрі болады.

Үшбұрыш медианасының қиылысу нүктесінің бұл қасиетін б.э.б ІІІ ғасырда Сицилияда өмір сүрген атақты ғалым Архимед тауып осыны негіздей отырып физикаға «ричаг ережесі» деп атаққа шыққан заңдылықты ашып, бұл заңның күш қуатына таңданып «Маған тірек нүкте беріңдер, мен жерді көтеремін» деген екен.

Жаттығу есептер:

1-1. Медианалардың табандар арқылы сызылатын үщбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы алғашқы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиуысынан 2 есе кіші болатынын дәлелде.

1-2. Үшбұрыш қабырғалары а, b, с оларға түсірілген медианалар сәйкес m_а, m_b, m_c, болса төменгі қатынастарды дәлелде.

а) а> b> с болса m_a < m_b < m_c

ә) (а + b + с) < m_a + m_b + m_c < a + b + c

б) а + b – с / 2 < m _a< a + b / 2

1-3. а қабырғасына жүргізілген медиананың ұзындығы m_a²= формуласымен табуға болатынын дәлелде;

§ 2. Іштей және сырттай сызылған шеңберлер

центрі және биссектрисаның қасиеті

Анықтама: Бұрышты 2 тең бөлікке бөлетін оның төбесінен басталатын сәулені бұрыштың биссектрисасы дейді. Үшбұрыш бұрышы биссектрисасының қарсы қабырғамен шектелген бөлігін үшбұрыштың ішкі (сыртқы) бұрышының биссектрисасы дейді.

Теорема-2: Үшбұрыштың үш биссектрисасы бір нүктеде қиылысады. Бұл нүкте үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болады.

Дәлелдеме: Үшбұрыш биссектриссалары оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны болатындықтан іштей сызылған шеңбер центрі арқылы өтетіні анық.

Қасиет 1: АВС үшбұрышының А бұрышының бис-сектрисасы ВС қабырғасын А₁ нүктесінде қиятын болса = болады.

Дәлелдеме: А төбесінен ВС -ге түсірілген биіктік - Һ, А₁ – нүктесінен АВ -ге түсірілген биіктік – Һ₁ десек |ВА|·h = |BA₁|·h және |АС|·h₁ = |A₁C|·h₁ болатындықтан = теңдігі шығады.

Қасиет-2 : | ВС| = а, |АВ| + |ВС| + |СА| = 2р болатын АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбер АВ, СА қабырғаларын сәйкес С , В нүктелерінде жанайтын болса |АС₁| = |АВ₁| = р – а болады.

Дәлелдеме: Іштей сызылған шеңбер центрін О деп белгілесек АС₁О, АВ₁О үшбұрыштарының теңдігінен |АС₁| ═ |АВ₁| болатыны айқын.

|АС₁| = |АВ₁| = х, |ВС₁| = |ВА₁| = у, |СВ₁| = |СА₁| = z десек

х + у = АВ, у + z = ВС, z + x = АС болатындықтан 2(х + у + z) = 2р, х = р – (у + z) = р – а.

Теорема-3: АВС үшбұрышының А төбесінен шығатын ішкі биссектрисаса келесі төбелерден шығатын сыртқы биссектрисалармен бір нүктеде қиылысады. Бұл нүкте ВС қабырғасын жанай сырттай сыйғызылған шеңбердің центрі болады

Дәлелдеме: В,С төбелерінің сыртқы бұрышының биссектисаларының қиылысу нүктесі АВ, АС түзулерімен және ВС қабырғысынан бірдей қашықтықта жататындықтан дәлелденді.

Қасиет -3: АВС үшбұрышына сырттай сыйғызылған шеңбер ВС қабырғасын А₁ нүктесінде жанайтын болса болады.

Дәлелдеме: АВС үшбұрышының ВС қабырғасын жанайтын сырттай сыйғызылған шеңбер АВ, АС түзулерін сәйкес В₁, С₁ нүктелерінде жанайтын болса | ВС₁| = |ВА₁| |А₁С| = |СВ₁| |АС₁| = |АВ₁| теңдіктерінен

2р=|АВ|+|ВА₁|+|А₁С|+|СА|=(|АВ|+|ВС₁|)+(|СВ₁|+ СА|) = |АС₁|+|АВ₁| немесе |АВ|+|ВС₁| = |СВ₁|+|СА|=p немесе |ВА₁| = p - с; |А₁С| = p - b

Қасиет-4: болатындай АВС үшбұрышының ВС қабырғасын жанайтын сырттай сыйғызылған шенбердің центрі 0' болса = 90°- болады.

Дәлелдеме: АВС үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центірін 0 десек болады да ;

болатындықтан OВO'С төртбұрышы шеңберге іштей сызылатыны анықталуымен қатар болып теорема дәлелденеді.

Жаттығу есептер:

2-1. Егер а ≥ b ≥ с болса ι_а ≤ ι_b ≤ ι_c болатының дәлелде

2-2. Қабырғаларының ұзындықтары а; b; с -ге тең АВС үшбұрышы үшін теңдігін орындайтын нүктесі тек бір ғана, және ол биссектрисалардың қиылысу нүктесі болатының дәлелде.

2-3. АВС үшбұрышыа іштей сызылған шеңбердің центрі О, А бұрышының биссектрисасының табаны А болса болатының көрсет.

2-4. АВС үшбұрышының А бұрышының биссек-трисасы бұл үшбұрышқа сырттай сыйғызылған шеңберді қиятын нүктесі D, ұшбұрышқа іштей сызылған шеңбердін цетрі О болса │ОD│═│ВD│═│СD│ болатының дәлелде.

2-5. R радиусты шеңберге іштей сызылған ұшбұ-рыштың сырттай сыйғызылған шеңберлерінің центір-лерінде төбесі болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын R' десек, R'=2R теңдігі орында-латынын дәлелде.

2-6. АВС үшбұрышына іштей сызылған шеңбердін радиусы r сырттай сыйғызылған шеңберлердін радиустары r₁, r₂, r₃ болса

а) ә) r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁ = p²

в) r₁ + r₂ + r₃ = r + 4R тендіктерін дәлелде.

§ 3. Сырттай сызылған шеңбердің центрі.

Дата добавления: 2014-12-16