Напряжение при внецентренном растяжении и сжатии. Определение размеров ядра сечения

Решение.

Рассекаем брус на произвольном расстоянии z от его свободного конца. Отбрасываем правую часть. Располагаем оси координат в центре тяжести сечения. Действие правой части бруса на его левую часть заменяем внутренними силами: N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, Т_кр (рис. 1, б).

Уравновешиваем, то есть, записываем уравнения равновесия и определяем значения внутренних силовых факторов.

Q_X = - 100Н.

;

при z = 0 Q_y = 0;

при z = l Q_y = -150 Н.

;

N = - 300Н.

;

при z = 0 M_x = - 45 Нм;

при z = l M_x = -195 Нм.

;

при z = 0 M_y = 30 Нм; при z = l M_y = - 170 Нм.

;

Т_кр = 15 Нм.

Строим эпюры внутренних силовых факторов (рис.2). Опасное сечение в данном брусе будет находиться в заделке, так как в этом сечении значения всех внутренних силовых факторов имеют наибольшие величины.

На брус заданного поперечного сечения в точке D верхнего торца действует продольная сжимающая сила Р =300 кН (см. рис.). Требуется найти положение нулевой линии, определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения и построить ядро сечения.

Решение:

1. Нахождение положения главных центральных осей инерции и определение площади поперечного сечения

Так как поперечное сечение бруса (рис.1) имеет две оси симметрии, а они всегда проходят через центр тяжести сечения и являются главными, то главные центральные оси сечения х _с и у _с будут совпадать с этими осями симметрии.

Центр тяжести сечения С в этом случае определять не надо, так как он совпадает с геометрическим центром сечения.

Площадь поперечного сечения бруса равна:

2. Определение главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции

Моменты инерции определяем по формулам:

Вычисляем квадраты главных радиусов инерции:

3. Определение положения нулевой линии

Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции, определяем по формулам:

где х_р =2,3 см и у_р =2 см – координаты точки приложения силы Р (точка Р рис.11). Отложив отрезки и соответственно на осях х_с и у_с и проводя через их концы прямую, получим нулевую линию сечения, на которой нормальные напряжения равны нулю ( ). На рис.1 эта линия обозначена n-n.

4. Определение наибольших сжимающих и растягивающих напряжений и построение эпюры напряжений

Точка D, координаты которой х_D =5,25 см и у_D =5 см, наиболее удалена от нулевой линии в сжатой зоне сечения, поэтому наибольшие сжимающие напряжения возникают в ней и определяются по формуле

Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке К, имеющей координаты х_к = ‑5,25 см, у_к = ‑5 см.

По полученным значениям и строим эпюру нормальных напряжений (см. рис.11).

5. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения, учитывая, что сечение симметричное, рассмотрим два положения касательной к контуру сечения I-I и II-II(см. рис.1).

Отрезки, отсекаемые касательной I-I на осях координат, равны:

Координаты граничной точки 1 ядра сечения определяются по формулам:

Касательная II-II отсекает отрезки =5,25 см, =¥.

Координаты граничной точки 2:

Координаты граничных точек второй половины ядра сечения можно не определять, так как сечение бруса симметричное. Учитывая это для касательных III-III и IV-IV, координаты граничных точек 3 и 4 будут:

= 0; = 15,2×10^-3 м;

= 23,0×10^-3 м = 0.

Соединив последовательно точки 1, 2, 3 и 4 прямыми получим ядро сечения (рис.1).

Дата добавления: 2014-12-16