Предел последовательности

Занятие 2.

1⁰ Функцию натурального аргумента называют последовательностью. Если Х=R, т.e. f(n)- вещественные числа, где , то такую последовательность назовём числовой и обозначим -ый член последовательности, а саму последовательность

(1)

2⁰. Число называется пределом последовательности , если для любого числа , найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство:

При этом пишут , или при и число а называют пределом последовательности . Говорят также, что последовательность сходится к .

Справедливы следующие утверждения:

(4)

(3)

(2)

Пример 1. Пусть . Доказать, что

Решение. В самом деле, зададим произвольное и решим неравенство или .Следовательно, для всякого такое, что неравенство - выполняется для всех n>n_0,, ч.т.д.

Пример 2. Если , то .

Доказательство. Пусть пока Неравенство верно, если т.е. если Таким образом, мы доказали, что при .

Пример 3. Пусть

Доказать, что

Доказательство. Имеем . Так как при (см. пример 2), то, применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример 4. Показать, что при последовательность Имеет пределом .

Решение. Здесь . Определим при каком выполняется неравенство . Так как то .

Итак, если , то , т.е. .

Дата добавления: 2014-12-16