Непрерывность функции

Занятие 3.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,

Обозначая (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие (когда стремится к справа, оставаясь больше ).

Если , то говорят, что функция непрерывна слева (когда стремится к слева, оставаясь меньше ).

.

Если непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции в точке , если существуют конечные односторонние пределы

и .

Скачком функции в точке называется разность его односторонних пределов , если они различны.

Если = , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Дата добавления: 2014-12-16