Векторное произведение

1⁰ Векторным произведением вектора , на вектор называется вектор , такой что:

1) длина вектора равна где угол между векторами, т.е. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах .

2) Вектор , перпендикулярен каждому из векторов .

3) Векторы образуют правую тройку векторов, т.е. кратчайший поворот вектора в сторону вектора виден из точек совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обозначается .

2⁰ Свойства векторного произведения:

1) , если - коллинеарные векторы (т.е. параллельные одной прямой)

2) = .

3)

4) .

3^{0 , ,}

^{, , , .}

4⁰ Выражение векторного произведения через координаты сомножителей: .

(12)

=

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде:

(13)

=

5⁰ Площадь параллелограмма построенного на векторах :

S=

И площадь треугольника построенного на векторах :

S=

Пример 8. Даны векторы , .

Найти: 1) , 2)

Решение. 1) Находим векторное произведение .

= .

2) Найдём координаты вектора и находим векторное произведение и

.

Ответ: .

Пример 9. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Находим векторное произведение :

= .

Ответ: S=49 кв.ед.

Пример 10. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6) и С(4;5;-2).

Решение. находим векторы и :

=

=

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма построенного на векторах и , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

Ответ: S=24,5 кв.ед.

5.Смешанное произведение трех векторов.

1⁰ Смешенным произведением векторов и , называется выражение вида . Если векторы и заданны своими координатами , , , то смешанное произведение определяется формулой:

(15)

2⁰ Свойства смешанного произведения:

1)

2) Если два из трёх данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно 0.

3) , поэтому смешанное произведение обозначается авс.

3⁰ Объём параллелепипеда, построенного на векторах и :

(16)

(+ при правой тройке, - при левой)

Объём пирамиды построенной на векторах :

(17)

4⁰ Если , то векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. При этом, между и существует линейная зависимость вида .

Пример 11. Найти смешанное произведение векторов , .

Решение. По формуле (15), находим:

.

Ответ: 4.

Пример 12. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2).

Решение. Найдём векторы и , совпадающие с рёбрами пирамиды, сходящимися в вершине А:

Найдём смешанное произведение этих векторов:

=

Так как объём пирамиды равен объёма параллелепипеда построенного на векторах , то .

Ответ: куб. ед.

Пример 13. Даны радиус вектора трёх последовательных вершин параллелограмма ABCD: Определить радиус вектора четвёртой вершины.

Решение. Пусть

Так как , то и так как , то .

Решая систему

Получим x=7, y=7, z=7.

Ответ. .

Пример 14. Установить, компланарны ли векторы , если

Решение. Найдём смешанное произведение:

=

следовательно, векторы компланарны.

Контрольные вопросы.

1.Векторы. Линейные операции над векторами.

2.Базис. Разложение вектора по базису.

3.Скалярные произведения.

4.Векторные произведения.

5.Смешанное произведение двух векторов.

Задания.

1. Проверить векторные тождества

1) , 2) .

2. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60⁰ , ОВ=ВС=СА=2, М и N- середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и , через и , где и единичные векторы направлений и .

4. Вектор составляет с координатными осями ох и оу углы 60⁰ и соответственно. Вычислить его координаты при условии

5. Даны точки А(2;2;0) и В(0;-2;5). Построить вектор и определить его длину и направление.

6. Даны векторы , . Вычислить:

а) , б) , в) , г) .

7. Определить при каком значении m векторы и , взаимно перпендикулярны.

8. Даны точки А(3;3;-2), В(0;-3;-4), С(0;-3;0) и D(0;2;-4). Построить векторы и найти

9. Векторы образуют угол , зная что вычислить:

1) , 2) 3) 4) 5) .

11.Векторы составляют угол . Найти площадь треугольника построенного на векторах , если

12.Даны векторы . Найдите и . 13.Даны векторы Найти координаты векторного произведения

14.Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах и если ,

15.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , .

16. Найти смешанное произведение векторов: a=i-j+k, в=i+j+k, c=2i+3j+4k.

17. Показать, что векторы: a=7i-3j+2k, в=3i-7j+8k, c=i-j-k - компланарны.

3) Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3) и D(3;7;2). Найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.

Занятие 5.

Дата добавления: 2014-12-16