Тема 2. Производная функции. Производной функции у = f(х) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии

Производной функции у = f(х) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

= =

∆у = f(х) - f(х₀) - приращение функции, ∆х = х – х₀ - приращение аргумента.

Обозначается производная:

Символ dу называют дифференциалом функции и вычисляют по формуле:

или

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Основные правила дифференцирования.

Пусть U = U(х) и V = V(х) — функции, дифференцируемые в некоторой точке х₀,

С = сопst (постоянная величина), тогда:

1) C^I = 0

2) (U ± V)^I= U^I ± V^I

3) (U · V) = U^I · V + V^I · U

4) (CU)^I = CU^I

5) =

Таблица производных 1:

1. (х^α)^I= α · x^α^-1 x^I= 1	7. (cos x)^I= -sin x
()^I =	8. (tgx)^I =
=	9. (ctgx)^I =
2. (a^x)^I = a^x · ln a	10. (arcsin x)^I =
3. (e^x)^I = e^x
4. (log a x)^I =	11. (arccosx)^I =
6. (sin x)^I = cos x	11. (arccos x)^I =
12. (arctgx)^I =	13. (arcctgx)^I =

Производная сложной функции

Пусть у ­– сложная функция, т.е. у = f(u), u = g(х), или у = f (g(x)) (f – внешняя функция, g – внутренняя функция).

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции в своей точке на производную внутренней функции.

Для вычисления производной сложной функции применяют таблицу 2.

Таблица производных (сложной функции) 2

1. (u^α)^I = α · u^α^-1· u^I	9. (ctg u)^I =
2. (a^u)^I = a^u· ln a · u^I
3. (e^u)^I = e^u· u^I
4. (loga · u)^I =	10. (arcsin u)^I =
5. (ln u)^I =	11. (arcos u)^I =
6. (sin u)^I = cos u · u^I	12. (arctgu)^I =
7. (cos u)^I = -sin u · u^I
8. (tgu)^I =	13. (arcctgu)^I =

Дата добавления: 2014-12-16