Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность события. Свойства вероятности

Вероятность события. Свойства вероятности

Вероятностью события А называется отношение числа mблагоприятных исходов к общему числу n всех элементарных равновозможных исходов. Вероятность события А обозначается Р(А).

Тогда, Р(А) =

1) Р(А) = 0, если А – событие невозможное;

2) Р(В) = 1, если В – событие достоверное;

3) 0 < Р(С) < 1, если С - случайное событие;

4) Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместные события;

5) Р(А)= 1 – Р(А)

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них: С = А + В.

Произведением событий А и В называется событие С = А·В, состоящее в совместном появлении этих событий.

Условной вероятностью Р(В/А) ((Р_A(В)) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло или не произошло событие В, т.е. если Р(А/В) =Р(А) (условная вероятность равна безусловной).

Теорема 1. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А · В) = Р(В) · Р(А/В) = Р(А) · Р(В/А).

Следствие 1.1. Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Р(А·В) = Р(В) · Р(А).

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В)

Следствие 2.1. Сумма вероятностей событий A₁, A₂ … A_n, образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) +... + Р(А_n) = 1.

Следствие 2.2 (Формула полной вероятности).

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из попарно несовместных событий B₁, B₂ ... В_n, образующих полную группу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностей каждого из них на соответствующую условную вероятность события А, т.е.:

Р(А) = Р(В₁)·Р(А/В₁) + Р(В₂)·Р(А/В₂) +... + Р(В_n)·Р(А/В_n).

Дата добавления: 2014-12-16