КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Парабола
III уровень 3.1. Гипербола касается прямых 5 x – 6 y – 16 = 0, 13 x – 10 y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат. 3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе 1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6); 2) параллельных прямой 10 x – 3 y + 9 = 0; 3) перпендикулярных прямой 10 x – 3 y + 9 = 0.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Параметры параболы: Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром, точка О (0, 0) – вершиной. При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
Рис. 24
Величина где M (x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = – p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы. Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24). Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
Рис. 25
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы: где t – произвольное действительное число. Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению: 1) 2) Решение. 1. Уравнение y 2 = –8 x определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2= –2 px, находим: 2 p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 26).
Рис. 26
2. Уравнение x 2 = –4 y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2 py, находим: 2 p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 27).
Рис. 27
Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8 x – 16 y – 32 = 0. Сделать чертеж. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата: x 2 + 8 x – 16 y – 32 =0; (x + 4)2 – 16 – 16 y – 32 =0; (x + 4)2 – 16 y – 48 =0; (x + 4)2 – 16(y + 3). В результате получим (x + 4)2 = 16(y + 3). Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).
Рис. 28
Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = 3 и точки F (0; 3). Решение. Точка F (0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x 2 = 2 py с параметром p = 2 · 3 = 6, т. е. x 2 = 12 y (рис. 29).
Рис. 29
Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2). Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение (y + 2)2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2)2 = = –8(x – 3).
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите параметры параболы и построить ее: 1) y 2 = 2 x; 2) y 2 = –3 x; 3) x 2 = 6 y; 4) x 2 = – y. 1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что: 1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4; 2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2). 3) директриса задана уравнением 3 y + 4 = 0. 1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень 2.1. Определить тип и параметры кривой: 1) x 2 – 8 x + 2 y + 18 = 0; 2) x = 2 y 2 – 12 y + 14. Сделать чертеж. 2.2. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3 x – 2 y + 5 = 0 с осью ординат. 2.3. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке V (3, –2) и фокусом F (3; 0). 2.4. Составьте уравнение параболы с вершиной в точке (–1; 1) и уравнением директрисы y – 1 = 0. 2.5. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой .
III уровень 3.1. Составьте уравнение параболы, проходящей через точки (–1; 1), (1; 3) и (31, 9). 3.2. Найдите расстояние от левого фокуса эллипса до прямой, проходящей через точки его пересечения с параболой y 2 = 12 x. 3.3. Составьте полярное уравнение параболы, приняв ее вершину за полюс, а ее ось – за полярную ось. 3.4. Докажите, что множество точек, равноудаленных от точки и прямой , есть парабола . 3.5. Составьте параметрические уравнения параболы , принимая в качестве параметра ординату . 3.6. Определите уравнение кривой в прямоугольных координатах и постройте ее, если она задана параметрически с помощью уравнений .
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 11361; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |