Призма. Параллелепипед

III уровень

3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС.

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами в 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3.Задан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Найдите угол между прямой CD ₁ и плоскостью BDC ₁.

3.4. На ребре АВ куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C ₁ PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а.

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость a так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a, если АВ = а, AD = b. Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Рис. 1

Для произвольной призмы верны формулы:

(1)

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S_бок – площадь боковой поверхности;

S_полн – площадь полной поверхности;

S_осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Дата добавления: 2014-12-16