Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод стрельбы




Одним из эффективных методов решения рассматриваемых краевых задач является метод стрельбы, который иногда называют методом пристрелки или методом прогонки. Его идея состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши, для которой существуют хорошо отработанные методы численного решения.

На самом деле, краевая задача для нормальной системы дифференциальных уравнений может быть заменена задачей Коши

где постоянные с 1, с 2,…, сn подбираются так, чтобы её решение совпадало с решением исходной краевой задачи.

Это достигается следующим способом. Решение задачи Коши кроме аргумента x будет содержать постоянные с 1, с 2,…, сn

а, следовательно левые части граничных условий в точках x = 0 и точке x = l тоже будут функциями этих постоянных, так как

Таким образом формируется система из n алгебраических уравнений относительно n неизвестных с 1, с 2,…, сn

Все сказанное выше позволяет сформировать алгоритм решения линейной краевой задачи методом стрельбы.

Пусть линейная краевая задача записана в общем виде следующим образом:

,

при x = 0 при x = l

где a 11(x),…, ann (x), f 1(x),…, fn (x) – ограниченные на отрезке [0, l ] известные функции, а p 11,…, pn, q 11,…, qkn, θ 1,…, θs и ,…, – заданные постоянные.

В матричной форме эта краевая задача имеет вид

,

при x = 0: , при x = l: ,

где

,

.

Эквивалентная ей задача Коши имеет вид

, ,

где с – вектор, составленный из постоянных с 1, с 2,…, сn

,

Подстановка её решения в граничные условия краевой задачи при x = 0 и x = l даёт n алгебраических уравнений относительно постоянных с 1, с 2,…, сn

Первая система из s уравнений является линейной, а для конкретизации второй системы из k уравнений надо воспользоваться свойствами линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно из теории дифференциальных уравнений общее решение таких систем является линейной комбинацией их линейно независимых частных решений

,

где

, ,

или

,

где квадратная матрица Y 0 составлена из частных решений однородной системы уравнений

.

В связи с этим вторая система уравнений, получающаяся из граничных условий при x = l, тоже будет линейной – системой линейных алгебраических уравнений

:

где

.

Отсюда, из сравнения структуры решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений и структуры системы линейных алгебраических уравнений, получающихся из граничных условий при x = l, можно построить следующий алгоритм нахождения коэффициентов матрицы G и вектора g *.

Сначала задача Коши численно решается для нулевых начальных условий. В этом случае все слагаемые с постоянными с 1, с 2,…, сn и в решении задачи Коши, и в граничных условиях при x = l, будут отсутствовать. Поэтому с помощью такого решения появляется возможность найти элементы вектора g *:

.

Затем задача Коши численно решается ещё n раз с единичными начальными условиями. Под такими начальными условиями имеются в виду условия, у которых одна компонента равна единице, а остальные считаются равными нулю. По этим решениям находятся элементы столбцов матрицы G:

,

,

………………………………………………………….

.

После этого системы линейных алгебраических уравнений, полученные из граничных условий при x = 0 и x = l, объединяются в одну систему из n уравнений

,

где

,

которая решается одним из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений и, таким образом, определяются постоянных с 1, с 2,…, сn.

Иллюстрацией данному алгоритму может служить решение следующей краевой задачи для линейного уравнения 2-го порядка

, .

Сначала эта задача приводится к краевой задаче для нормальной системы дифференциальных уравнений

, ,

где введены обозначения , . В матричной форме она имеет вид

,

при x = 0: , при x = l: .

Здесь

.

Затем для неё записывается эквивалентная задача Коши

,

которая решается трижды для следующих начальных условий

Её решение методом Эйлера для первой пары начальных условий даёт следующие значения y 1(x) и y 2(x), которые сведены в таблицу

x   0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y 1 0.000 0.000 0.000 0.006 0.024 0.060 0.117 0.199 0.306 0.438 0.5897
y 2 0.000 0.000 0.060 0.180 0.355 0.573 0.820 1.074 1.316 1.520 1.666

Повторное решение этой же задачи для второй и третьей пар начальных условий даёт другие значения y 1(x) и y 2(x), которые также сведены в таблицы

x   0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y 1 1.000 1.000 0.910 0.736 0.492 0.200 –0.112 –0.413 –0.667 –0.842 –0.909
y 2 0.000 –0.900 –1.740 –2.439 –2.921 –3.124 –3.004 –2.543 –1.751 –0.671 0.627

 

x   0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y 1 0.000 0.100 0.200 0.297 0.388 0.470 0.542 0.601 0.647 0.681 0.7051
y 2 1.000 1.000 0.970 0.910 0.823 0.714 0.590 0.463 0.342 0.240 0.1670

Значит

,

,

.

Поэтому система линейных алгебраических уравнений для определения постоянных с 1 и с 2 будет иметь вид

.

Её решение легко находится

.

С полученными значениями с 1 и с 2 методом Эйлера строится окончательное решение задачи Коши. Оно приведено в следующей таблице.

x   0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y 1 0.000 –0.511 –1.022 –1.481 –1.836 –2.039 –2.054 –1.855 –1.435 –0.806 0.000
y 2 –5.109 –5.109 –4.589 –3.549 –2.037 –0.145 1.991 4.199 6.288 8.059 9.324

Из неё видно, что на левом (при x = 0) и на правом (при x = 1) концах отрезка поиска решения заданной краевой задачи получено равенство искомого решения нулю.

Оценка погрешности метода стрельбы

Основной вклад в ошибку приближённых решений краевых задач получаемых методом стрельбы вносят методы решения задачи Коши. На каждом шаге h по аргументу x они вносят в решение абсолютную погрешность, оцениваемую неравенством

,

где m = 2 для метода Эйлера, m = 3 для усовершенствованного метода Эйлера и m = 5 для метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Абсолютная погрешность приближённого решения на всём отрезке интегрирования системы дифференциальных уравнений описывается неравенством

,

Однако на практике из-за необходимости вычисления Ck и Ek такая оценка абсолютных погрешностей решения краевой задачи затруднительна. Поэтому для вычисления погрешности рассматриваемых методов на всём отрезке поиска решения используют апостериорную оценку, базирующуюся на правиле Рунге

,

где y (xk, h) и y (xk, 2 h) – приближённые значения решения, вычисленные в точке xk при шагах интегрирования или разбиения отрезка поиска решения краевой задачи, отличающихся друг от друга в два раза. В качестве относительной погрешности решения краевой задачи используют её интервальную оценку

.

Такой подход вполне оправдан до тех пор, пока при реализации вычислений не начинают сказываться неустранимые ошибки округления.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 2184; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.