Справочная информация. Эллиптическое уравнение является дифференциальным уравнением с частными производными 2-го порядка

РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

Эллиптическое уравнение является дифференциальным уравнением с частными производными 2-го порядка. Для двумерного пространства { x, y } это уравнение в классической форме имеет вид

или

,

где – оператор Лапласа, u (x, y) – искомое решение, а f (x, y) – заданная ограниченная функция. В общем виде эллиптическое уравнение записывается следующим образом

,

где c = c (x, y), a = a (x, y) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Другая форма записи эллиптического уравнения имеет вид

.

Здесь div (…) – дивергенция векторного поля, а – градиент скалярной функции

,

,

где и – орты декартовой системы координат x 0 y.

Решение эллиптического уравнения обычно ищется в замкнутой области S (см. рис.1). На границе Г этой области, которая может состоять из нескольких участ­ков Г ₁, Г ₂, Г ₃,…, поведение решения определяется граничными условиями двух типов

,

где h = h (x, y), r = r (x, y), q = q (x, y), g = g (x, y) – известные и ограниченные на границе Г функции. Задача отыскания решения эллиптического уравнения, подчиняющегося граничному условию 1-го типа, называется краевой задачей Дирихле, в случае подчинения решения условию 2-го типа – краевой задачей Неймана.

Рис.1.

Другие формы записи граничного условия второго типа имеют вид

,

,

где – нормаль к границе Г, а cos α и cos β – её направляющие косинусы.

Для решения уравнений с частными производными разработано большое количество численных методов. Одним из наиболее распространённых в настоящее время является метод конечных элементов. Его применение основано на вариационной постановке краевой задачи для эллиптического уравнения.

Дата добавления: 2014-12-16