Справочная информация. Параболическое уравнение относится к дифференциальным уравнениям с частными производными 2-го порядка

РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

Параболическое уравнение относится к дифференциальным уравнениям с частными производными 2-го порядка. Оно описывает нестационарные процессы, так как одним из его аргументов является время t. В двумерном пространстве { x, y } это уравнение в классической форме имеет вид

или

,

где u = u (x, y, t) – искомое решение, a – известный параметр уравнения, а f = f (x, y, t) – заданная ограниченная функция. В общем виде параболическое уравнение записывается следующим образом

,

где d = d (x, y, t), c = c (x, y, t), a = a (x, y, t) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Другая форма записи параболического уравнения имеет вид

.

Решение параболического уравнения обычно ищется в замкнутой области S (см. рис.1). На границе этой области поведение решения определяется граничными условиями двух типов

или

.

Здесь h = h (x, y, t), r = r (x, y, t), q = q (x, y, t), g = g (x, y, t), – известные и ограниченные на границе Г функции. Другая форма записи граничного условия второго типа имеет вид

.

Кроме граничных условий для решения параболического уравнения необходимо задавать одно начальное условие

.

Оно описывает искомое решение в начальный момент времени, за который обычно принимают t = 0. Такая постановка задачи для параболического уравнения называется начально-краевой задачей.

Дата добавления: 2014-12-16