Примеры вычисления работы

Рассмотренные ниже при­меры дают результаты, которыми можно непосредственно пользо­ваться при решении задач.

1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения М_­0 (x­₀, у₀, z₀ ) в положение M₁ (х₁, у₁, z₁). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.8). Тогда

Рx=0, Рy=0, Pz=-Р. Подставляя эти значения и

учитывая перемен­ную интегрирования z:

Z₁

(M₁)

Z₀

(M₀)

А_(М0М1)= ∫(-P)dz=-P ∫dz=P(z₀-z₁).

Если точка M₀ выше М₁, то z₀ - z₁= h, где

h -величина вер­тикального перемещения точки;

если же точка M₀ ниже точки M₁то

Рисунок 8 z₀-z₁=-(z₁-z₀)=-h.

Окончательно получаем:

А_(М0М1)=±Рh.

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со зна­ком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обла­дающие таким свойством, назы­ваются

потенциальными.

2) Работа силы упругости. Рассмотрим груз М,

лежащий на горизонтальной плоскости и

прикрепленный к свободному концу некоторой

пружины (рис. 9,а). Отметим на плоскости

точкой О поло­жение, занимаемое концом пружины, когда она не напряже­на (АO=l₀-длина

Рисунок.9

ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, удлинив пружину до величины l, то на груз будет действовать сила упругости пружины F, направленная к точке О. По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины Δl=l-l₁. Так как в нашем случае Δl=x, то по модулю

Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэф­фициент с численно равным силе, которую надо приложить к пру­жине, чтобы растянуть ее на 1 см.

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения М₀(x₀) в положение М₁(x₁). Так как в данном случае Fх= -F =-cx, Fy = Fz = 0, то получим:

X₁

(М₁)

X₀

(М₀)

А_(М0М1)= ∫(-cx)dx=-c∫xdx=

(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.9, б), вычисляя площадь σ заштрихованной на чертеже тра­пеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле x­₀ представ­ляет собою начальное удлинение пружины Δl_нач, а X₁- конечное удлинение пружины Δl_кон. Следовательно,

А_(М0М1)=

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффи­циента жесткости на разность квадратов начального и конеч­ного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда | Δl_нач| > |Δl_кон|, т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрица­тельной, когда | Δl_нач| < |Δl_кон|, т.е. конец пружины удаляется

от равновесия положения. Можно доказать, что

формула ос­тается справедливой и в случае, когда

пе­ремещение точки М не является прямо­линейным.

Дата добавления: 2014-12-17