Метод варіації довільних сталих

Теорема (про структуру загального розв’язку неоднорідного рівняння).

Загальним розв’язком рівняння (1) є сума його довільного частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (2).

З теореми випливає, що для знаходження загального розв’язку рівняння (1) потрібно знайти який-небудь його частинний розв’язок, а також загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння. Обидві ці задачі є складними. Проте, якщо відомий загальний розв’язок однорідного рівняння (2), то частинний розв’язок рівняння (1) можна знайти, скориставшись так званим методом варіації довільних сталих, який належить Лагранжу.

Нехай (3)

– загальний розв’язок однорідного рівняння (2), відповідного рівняння (1). Замінімо у формулі (3) сталі невідомими функціями і підберемо ці функції так, щоб функція

(4)

була розв’язком рівняння (1). Знайдемо похідну

Накладемо на умову, щоб

(5)

З урахуванням умови (5) похідна набере вигляду:

.

Знайдемо другу похідну

.

Підставивши значення в рівняння (1), дістанемо

Оскільки та - розв’язки однорідного рівняння (2), то вирази в квадратних дужках дорівнюють нулю, а тому

. (6)

Таким чином, функція (4) буде тоді частинним розв’язком рівняння (1), коли функції задовольнятимуть систему рівнянь (5) та (6):

(7)

Визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних розв’язків та рівняння (2), тому . Тоді система (7) має єдиний розв’язок та, де і - деякі функції від . Інтегруючи ці функції знаходимо , а потім за формулою (4) складаємо частинний розв’язок рівняння (1).

При знаходження частинних розв’язків може стати корисною наступна теорема.

Теорема (про накладання розв’язків).

Якщо права частина рівняння дорівнює сумі двох функцій:

а та - розв’язки рівнянь та , то функція буде розв’язком даного рівняння.

Це означає, що коли можна знайти розв’язки рівнянь, правими частинами яких є окремі доданки заданої правої частини, то можна дуже просто – у вигляді суми розв’язків – знайти розв’язок даного рівняння.

Дата добавления: 2014-12-17