Нормальні системи рівнянь

ТЕМА 8. Системи диференціальних рівнянь

ВПРАВИ

І Знайти загальні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь із сталими коефіцієнтами (рівняння із спеціальною правою частиною).

1. ; 5. ; 9. ;

2. ; 6. ; 10.

3. ; 7. ;

4. ; 8. ;

ІІ Знайти частинні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь із сталими коефіцієнтами (рівняння із спеціальною правою частиною).

1. ;

2. .

ІІІ Розв’язати рівняння, використовуючи метод варіації довільної сталої.

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

ІV Знайти розв’язок задачі Коші

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14.

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Розглянемо деякі найпростіші системи диференціальних рівнянь. Незалежну змінну позначемо буквою , а невідомі функції – через або (якщо їх не більше трьох) через .

Нормальною системою диференціальних р івнянь називається система виду:

(1)

або

Іншими словами, якщо в лівій частині рівняння системи (1) стоять похідні першого порядку, а праві частини рівнянь зовсім не містять похідних, то така система називається нормальною. Розв’язком системи (1) називається сукупність функцій , які задовольняють кожному з рівнянь цієї системи.

Введенням нових змінних, будь-яке диференціальне рівняння –го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, зводиться до еквівалентної системи рівнянь першого порядку.

Справді, нехай задано рівняння n-го порядку:

Покладемо:

тоді

..

Дістали нормальну систему:

,

еквівалентну заданому рівнянню.

Покажемо, що можливий і зворотній перехід: нормальну систему рівнянь можна замінити одним рівнянням, порядок якого дорівнює числу рівнянь системи. Нехай задана нормальна система (1). Продиференціюємо по будь-яке, наприклад, перше рівняння:

.

Підставивши в цю рівність значення похідних з системи (1), дістанемо .

Аналогічно знаходимо похідні до n-го порядку включно:

Дістаємо систему рівнянь:

(2)

Якщо з перших рівнянь системи (2) знайти (коли це можливо) змінні

(3)

і підставивши їхні значення в останнє рівняння, то одержимо рівняння -го порядку відносно змінної :

. (4)

Нехай (5)

(де - довільні сталі) – розв'язок рівняння (4). Продиференціювавши його разів і підставивши значення похідних в рівняння (3), дістанемо

(6)

Можна довести, що сукупність функцій (5), (6) буде загальним розвязком системи (2).

Для нормальної системи (2) справджується теорема Коші про існування і єдиність: якщо в деякій області G функції , k=1,2,…,n системи (2) неперервні разом з усіма своїми похідними, i,k= 1,2,…, n,то для будь-якої точки існує єдиний розв'язок , який задовольняє початкові умови: .

Для інтегрування системи (2) можна застосовувати метод, за допомогою якого ця система була зведена до рівняння (4). Цей метод називають методом виключення змінної.

Дата добавления: 2014-12-17