Свойства скалярного произведения

Скалярное и векторное произведение

Пример 3.

Пример 2.

Пример 1.

Примеры решения задач

Найти вектор a , если А(1; 3;2) и В(5; 8; -1).

Решение.

Проекциями вектора на оси координат являются разности соответственных координат точек В и А: а_х=5-1=4, а_у=8-3=5, a_z=-1-2=-3. Следовательно, .

Найти длину вектора .

Решение.

Составить последовательность векторов в порядке возрастания их модулей

1: ;

2: ;

3: .

Решение.

Находим модули векторов

;

;

.

Последовательность векторов: a, b, с или 3, 2, 1.

1. Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a·b

1°. а·а = а², или а² = а².

2°. a·b = 0, если а = 0, либо b = 0, либо a┴b (ортогональность ненулевых векторов).

3°. a·b = b·a (переместительный закон).

4°. a·(b+с) = а·b + а·с (распределительный закон).

5°. (ma)·b = a·(mb) = m(a·b) (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю).

Скалярные произведения ортов осей координат:

i² = j² = k²=l, i×j = i×k = j×k = 0.

Пусть векторы а и b заданы своими координатами: a =x₁i+y₁j+z₁k,
b =x₂i+y₂j+z₂k. Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле

a·b =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

2. Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий вектор с; определяемый следующим образом:

1) модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b (, где — угол между векторами а и b);

2) вектор с перпендикулярен векторам а и b;

3) векторы а, b, с после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты i, j, k (в правой системе координат образуют так называемую правую тройку векторов).

Векторное произведение а на b обозначается через a × b.

Дата добавления: 2014-12-17