Метод подстановки

Замена переменной в определенном интеграле

Пример.

Интегрирование по частям

Пример 2.

Пример 1.

.

Найти .

Решение.

Применяя формулу (6.1), последовательно получаем:

.

Для определенного интеграла справедливо следующее соотношение:

,

где , а функции u (x), v (x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [а, b].

Соображения, по которым подынтегральная функция f (x)dx представляется в виде u (x), d v (x), являются такими же, как и в случае неопределенного интеграла.

.

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, b], а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [α, β]
(-∞ < α < β < ∞), причем и множество значений функции совпадает с отрезком [а, b]. Тогда

. (6.2)

Формула (6.2) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. При замене переменной в опре­деленном интеграле в отличие от неопределенного не нужно возвращаться к старой переменной, так как пределы интег­рирования по новой переменной также пересчитываются. Новые пределы интегрирования α, β получаются из решения следующей системы алгебраических уравнений:

(6.3)

относительно α, β.

Если функция немонотонна, то решение α, β мо­жет быть не единственным. Поэтому нужно выбирать такие решения системы (6.3), чтобы на отрезке [α, β] функция была монотонна.

Дата добавления: 2014-12-17