Примеры. Основные теоретические сведения

Основные теоретические сведения

1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Вероятность произведения независимых событий А и В:

P(AB) = P(A)×P(B)

2. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и обозначается P(A | B).

Вероятность произведения зависимых событий А и В:

P(AB)=P(A)P(B|A) или P(AB)= (B)P(A|B).

3. Вероятность суммы двух совместных событий:

P(A + B) = P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A×B).

4. Вероятность суммы двух несовместных событий:

P(A+B) = P(A) + P(B).

5. Вероятность появления хотя бы одного события равна

P(A₁ÈA₂È...ÈA_n) = 1 - P(Ā₁)P(Ā₂)...P(Ā_n),

где вероятность противоположного события равна P(Ā) = 1 - P(A).

6. Противоположные события – это два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти.

Вероятность суммы противоположных событий равна единице

Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго- 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение. Обозначим события:

А – попадание в цель первым стрелком,

В – попадание в цель вторым стрелком.

Так как события А и В независимы, то

P(AB) = P(A)×P(B) = 0,9×0,8 = 0,72.

Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Определить зависимы ли события А-«первой взята стандартная деталь» и В –«второй взята стандартная деталь».

Решение. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна P(A) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то P(B) = 89/99, если же событие А не произошло, то P(B) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.

Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение. Обозначим события:

А – первый шар черный;

В – второй шар черный.

Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b - 1 шаров, из них b - 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие А, есть:

Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А₁), вторая деталь – второго сорта (событие А₂) и третья деталь – третьего сорта (событие А₃).

Решение.

Пример 5. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0,1; «3» – 0,6; «4» – 0,2; «5» – 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку.

, т.к. событие А и событие – «получить двойку» на экзамене являются противоположными.

.

Пример 6. Вероятность того, что первый стрелок поразит мишень равна 0,8, второй – 0,5. Найти вероятность того, мишень будет поражена только один раз.

Решение: Пусть событие А – попадет первый стрелок. . Событие В – мишень поразит второй стрелок. . Интересующее нас событие D– будет ровно одно попадание по мишени, если стрелки сделают только по одному выстрелу.

Вероятность того, что первый стрелок не попадет: . Второй стрелок не попадет с вероятностью .

Вероятность события равна:

.

Пример 7. Две пушки стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первой пушкой равна =0,75, второй =0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если пушки сделают по одному залпу? События А и В независимы.

Решение: Интересующие нас событие С – будет поражена мишень.

Мишень будет поражена либо когда будет одно попадание, либо два. Таким образом, необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания по мишени. Воспользуемся теоремой сложения совместных событий:

Поскольку события и независимы, данную формулу перепишем в следующем виде:

.

Дата добавления: 2014-11-29