Факторний аналіз

Хіміко-технологічних процесів

Розділ 7. Математичне моделювання та оптимізація

Комп’ютерні засоби та інформаційні технології дозволили значно підвищити можливості й віддачу такого всеохоплюючого методу пізнання та творення, як моделювання об’єктів, явищ та процесів, як тих, що існують у природі, так і тих, що створюються людиною штучно.

У процесі виробничої та інтелектуальної еволюції людина навчилася моделювати велику кількість об’єктів і явищ. З часом збільшується кількість та відбувається ускладнення об’єктів, які досліджуються; об’єкти ускладнюються, і натурне моделювання стає невигідним, не економним. Тому для дослідження об’єктів починають застосовувати математику. Математичні рівняння дають можливість описувати і досліджувати більш складні об’єкти і явища – від найпростіших механізмів до хімічних процесів та логічних міркувань. При цьомувсеце виконується без побудови макетів, без проведення натурних експериментів, що дорого коштують.

Застосування математичних моделей – рівнянь, нерівностей, формул, за допомогою яких описують об’єкти – і є математичне моделювання. Для реалізації складних математичних моделей недостатньо аналітичного апарату досліджень, а потрібні ефективні чисельні методи. Використання чисельних методів для реалізації математичних моделей на ЕОМ потребує механізму їх перенесення на комп’ютер, тобто потребує такого засобу, за допомогою якого б комп’ютер “зрозумів” як розв’язувати задачі. Реалізувати великий потенціал математичного моделювання неможливо без потужних засобів автоматизації обчислень, якими є сучасні комп’ютери. Так, без комп’ютерів неможливо було б детально промоделювати складні хіміко-технологічні процеси при розробці джерел атомної енергії, розрахувати, розв’язати багато інших хімічних задач.

“Налаштування” комп’ютера користувачем на розв’язання якоїсь задачі дослідження конкретного об’єкта і означає створення комп’ютерної моделі об’єкта. Використання такої моделі для визначення стану, поведінки, параметрів, характеристик хімічного об’єкту дослідження являє собою процес комп’ютерного моделювання.

Комп’ютерне моделювання – це самостійний науковий напрям, що не завжди зводиться до простої автоматизації обчислень, реалізації математичних моделей. Сучасні можливості засобів комп’ютерного моделювання вражаючі, вони допомагають робити нові відкриття у галузі природничих наук, зокрема хімії та хімічної технології, здійснювати моніторінг оточуючого середовища при рішенні екологічних проблем суспільства.

Завдяки появі потужних комп’ютерів і розвитку інформаційних технологій створюються методи та засоби комп’ютерного моделювання, здатні розв’язувати складні та надскладні практичні задачі.

Приступаючи до виконання експерименту в лабораторії, хіміки завжди визначають програму дій, що називається плануванням досліду. Мета любого експерименту полягає в отриманні певного об’єму нової інформації про досліджувану речовину або про певний хіміко-технологічний процес її отримання. У ході виконання досліду використовується дороге обладнання, реактиви. Для того, щоб експеримент проходив оптимально, необхідно звести до мінімуму всі витрати на його здійснення. Тому, складаючи програму експериментальних досліджень, ми наперед плануємо кількість дослідів та умови їх проведення.

У 1950-х роках на проблеми оптимального планування експерименту звернули увагу математики. Як продукт їх праці з’явились зручні та економічні плани дослідів для знаходження рівнянь регресії, що описують складні багатофакторні хіміко-технологічні процеси. Поступово розвинулась та сформувалась математична теорія планування експерименту.

Необхідно відмітити, що перші спроби використання математичних методів для оптимального планування дослідів були зроблені англійським математиком Р.Фішером на початку 20-х років ХХ ст. Але швидкими темпами теорія планування стала розвиватись після 1951 року в зв’язку з появою робіт Д.Бокса та К.Уілсона. Значний вклад в розвиток методів оптимального планування дослідів внесли роботи вчених В.Налімова, Ю.Адлера та Г.Круга.

Використання комп’ютерів на різних етапах планування дослідів та обробки експериментальних даних дозволяють уникнути стомлюючих розрахунків та виключають можливість виникнення помилок у розрахунках. Рівняння регресії, що одержується на основі планування досліду, використовується в подальшому для оптимізації технологічних процесів та властивостей матеріалів.

Незалежні змінні величини, що впливають на перебіг хіміко-технологічного процесу називають впливаючими факторами. Так, впливаючими факторами можуть бути температура, тиск, склад вихідної реакційної суміші і т.д. Дані величини при плануванні експерименту позначають малими літерами x₁, x₂, ј, x_n. Фактори, які характеризуються певними цифровими значеннями (температура, тиск, концентрація), називаються кількісними. Фактори, які не характеризуються цифровими значеннями (наявність або відсутність каталізатору), називаються якісними.

Перебіг хіміко-технологічного процесу кількісно характеризується однією або декількома величинами (наприклад продуктивністю обладнання, собівартістю продукції і т.д.), що в теорії планування експерименту називають функціями відгуку та позначають малими літерами y₁, y₂, ј, y_n. Функції відгуку залежать від впливаючих факторів.

Геометричний образ, що відповідає функції відгуку, називають поверхнею відгуку (рис.7.1.1), а координатний простір, по осях якого відкладені впливаючі фактори – факторним простором.

Для зручності поверхня відгуку може бути зображена на площині в координатах х₁ та x₂ лініями, що відповідають постійним значенням функції відгуку. Це робиться аналогічно до зображення рельєфу на географічних картах.

Рис.7.1.1.Поверхня відгуку та її проекція на факторний простір

Рис.7.1.2.Типи поверхонь відгуку

На рис.7.1.2 зображені деякі типи поверхонь відгуку. В якості прикладу функції відгуку беремо ступінь чистоти продукту хімічної реакції А®В, що надано у відсотках. На рис.7.1.2.а. поверхня відгуку має вигляд “ вершини ” та відповідає області значень факторів, де знаходиться максимум величини y. Аналогічний вигляд мають лінії постійного рівня у випадку мінімуму функції y (тип “ западина ”).

Поверхня, що зображена на рис.7.1.2.б, характеризує повільне зростання функції відгуку зі збільшення значень факторів х₁ та x₂. Такий тип поверхонь називають “ стаціонарним зростанням ” (протилежний випадок – “ стаціонарне зменшення ”).

Поверхня, що наведена на рис.7.1.2.в називається “ хребтом ”. Його вершина відповідає найбільшим значенням функції відгуку. Аналогічно розташована лінія постійних значень функції відгуку у випадку типу поверхні “ яр ”, що відповідає мінімальним значенням функції відгуку.

На рис.7.1.2.г зображено поверхню, що називається “ сідлом ”. На двох ділянках даної поверхні ми спостерігаємо зростання функції відгуку, а на двох інших - її зменшення.

Слід зауважити, що на практиці зустрічаються поверхні відгуку більш складної форми, які являють собою комбінацію наведених типів поверхонь.

Дата добавления: 2014-11-29