Определение внутренних усилий при изгибе. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают следующие составляющие внутренних сил – поперечная сила Q и изгибающий момент М_и. Для их определения используют метод сечений.

Поперечная сила направлена вдоль плоскости сечения и ее действие связано с действием касательных напряжений, т.е. τ = f (Q). Поперечная сила в любом поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил и реакций опор, действующих по одну сторону от сечения. В сечении ее считают положительной (рис. 5.21, а), если равнодействующая сил, действующих слева от сечения, направлена вверх, или равнодействующая сил, действующих справа от сечения – вниз; и отрицательной (рис. 5.21, б) – при противоположном направлении равнодействующих.

Изгибающий момент действует в плоскости, перпендикулярной поперечному сечению. Его действие связывают с действием нормальных напряжений, т.е. σ = f (М_и). Изгибающий момент в любом поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра масс сечения внешних сил и реакций опор, действующих по одну сторону от сечения. Изгибающий момент считается положительным, если стержень в сечении (рис. 5.21, в) изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным (рис. 5.21, г), если стержень в сечении изгибается выпуклостью вверх. Знак изгибающего момента в сечении можно определить, закрепив условно сечение и рассматривая действие сил, расположенных по любую сторону от него. Например, см. рис. 5.19, а: силы, действующие слева от сечения 1-1 и справа от сечения 2-2 изгибают стержень в этих сечениях выпуклостью вниз, т.е. М_{и 1-1} > 0 и М_{и 2-2} > 0.

При определении Q и М_и используется скользящая система координат, когда отсчет сечений ведут либо от крайнего левого, либо от крайнего правого сечения стержня.

Для консольных жестко закрепленных с одной стороны (рис. 5.24, а) стержней поперечную силу и изгибающий момент удобнее определить без нахождения реакций опоры, рассматривая по отношению к сечению силы, действующие на незакрепленный участок стержня. Значения Q и М_и в точке закрепления В будут равны составляющим реакции опоры, т.е. Q_B = F = R_BY, М_иB = F·ℓ= M_RB.

Поперечная сила Q и изгибающий момент М_и в общем случае зависят от положения сечения по длине стержня, т.е. от величины х. Проверку условий прочности (5.13) проводят в опасных наиболее нагруженных сечениях, в сечениях с наибольшими внутренними силами и максимальными напряжениями. Для нахождения опасных сечений и для наглядного представления о характере изменения внутренних сил строят графики распределения поперечных сил Q = Q (x) и изгибающего момента М_и = М_и (х) по длине стержня, т.е. эпюры поперечных сил и изгибающего момента.

Стержень разбивают на участки, на протяжении которых нагрузка однородна. Для эпюр Q и М_и проводят линии, параллельные продольной оси стержня. Границы участков сносят на эти линии. Для каждого участка составляют общие выражения величины поперечной силы Q = Q (x) и изгибающего момента М_и = М_и (х), для чего рассматривают произвольные сечения в пределах участка. Далее строят эпюры Q и М_и, задавая аргументу х значения в пределах каждого участка. Величины поперечной силы и изгибающего момента откладывают как ординаты эпюры в масштабе: положительные – выше линий, отрицательные – ниже.

Пример. Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающего момента М_и для стержня, представленного на рис. 5.19, а. Заданы действующая на стержень нагрузка (F, M_e) и размеры длин участков (a, b, ℓ), ранее также определены (п. 5.13.2) реакции опор R_B и R_AY. Стержень содержит три участка с однородной нагрузкой: АС, CD и DB.

Выражения для поперечной силы в сечениях при рассмотрении сил, действующих слева от сечений, имеют вид: на участке АС Q = R_AY; на участке CD, как и на участке DB Q = R_AY – F. На участке ВС поперечная сила в сечениях при рассмотрении сил, действующих справа от сечений, будет равна Q = – R_B. Эпюра Q представлена на рис. 5.19, б. На границах участков в точках приложения сосредоточенных сил наблюдаются «скачки» на величину этих сил.

Выражения для изгибающего момента в сечениях, отстоящих от опоры А на расстоянии х при учете сил, действующих слева от сечений, имеют следующий вид: на участке АС: М_и = R_AY·x; на участке CD: М_и = R_AY·x – F (x – – a); на участке DB М_и = R_AY·x – F (x – a) + M_e. Найдем значения изгибающих моментов в начале и в конце каждого участка. Эпюра М_и представлена на рис. 5.19, в. Отметим, что если поперечная сила на участке постоянна, изгибающий момент линейно зависит от координаты х. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра М_и имеет излом, в точках приложения моментов сил (точка D) – «скачок» на величину действующего момента сил (М_е).

Рассмотрим связь между изгибающим моментом и поперечной силой. Запишем выражение Q и М_и для сечений, действующих, например, в пределах участка CD и отстоящих друг от друга на расстоянии dx. Поперечная сила равна Q = Q_x = Q_x+dx = R_AY – F. Изгибающие моменты в указанных сечениях: М_иx = R_AY·x – F(x – a); М_и(x+dx) = R_AY(x + dx) – F(x + dx – a). Тогда dМ_и = М_и(х+dx) – М_их = (R_AY – F)dx. Сравнивая выражения Q и dМ_и, имеем

Q = dМ_и/dx, (5.63)

т.е. производная от изгибающего момента по длине стержня равна поперечной силе (теорема Журавского). Зависимость (5.63) имеет силу для любой нагрузки и используется для проверки правильности построения эпюр, а именно: если эпюра поперечных сил в некоторой точке проходит через нуль, то эпюра изгибающего момента должна иметь в этой точке экстремум (максимальное или минимальное значение).

Дата добавления: 2014-11-29