Парабола. Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой.

Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметром параболы.

Эксцентриситет параболы – отношение расстояния любой точки параболы до фокуса к расстоянию ее до директрисы – есть постоянное число равное единице.

Найдем уравнение параболы. Возьмем такую систему координат хОу, чтобы ось абсцисс проходила через фокус F, перпендикулярно директрисе х = D параболы, а ось ординат делила расстояние между фокусом и директрисой пополам (рис.3.11).

Рис. 3.11

Расстояние FD между фокусом и директрисой параболы обозначим через р (параметр параболы). В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы есть .

Пусть – произвольная точка плоскости. Тогда М, согласно определению, будет точкой параболы тогда и только тогда, когда . Так как

, а ,

то уравнение параболы имеет вид .

Это уравнение эквивалентно следующему: ,

или

. (5.19)

Уравнение (5.19) называется каноническим уравнением параболы.

Свойства параболы:

1. Сравнивая уравнения (5.19) и (5.2), убеждаемся в том, что парабола есть кривая второго порядка.

2. Поскольку , то из уравнения (5.19) имеем . Следовательно, парабола есть неограниченная кривая, расположенная в правой полуплоскости относительно оси Оу и ось Ох является осью симметрии параболы (рис.3.11). Это единственная ось симметрии параболы.

Парабола не имеет центра симметрии, она не является центральной кривой.

Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Парабола (5.19) имеет только одну вершину, которая лежит в начале координат О (0, 0).

3. Уравнение , где , определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии Оу. Парабола расположена в верхней полуплоскости относительно оси Ох.

Уравнение пишут часто в виде, разрешенном относительно ординаты у:

, где .

4. Уравнение , где , определяет параболу, которая симметрична с параболой относительно оси Оу, а уравнение – параболу, которая симметрична с параболой относительно оси Ох.

5. Найдем полярное уравнение параболы. Пусть полюс полярной системы координат совпадает с фокусом параболы , а полярная ось – с положительным направлением оси Ох (рис.3.11). Полярные координаты точки параболы обозначим через и , т.е. . Из треугольника FMK находим , .

Подставляя значения х и у в уравнение (5.19), получаем

,

Откуда .

Учитывая, что и , имеем .

Тогда полярное уравнение параболы есть

. (5.20)

Дата добавления: 2014-11-29