Эллипсоид

ЗАДАННЫЕ КАНОНИЧЕСКИМИ УРАВНЕННИЯМИ

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид

. (5.25)

Будем считать, что Если на эллипсоиде (5.25) лежит точка , то на нем лежат и точки (с любым набором знаков плюс и минус). Отсюда следует, что для эллипсоида (5.25) начало координат является его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; плоскости координат являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями.

Если то эллипсоид (5.25) называется трехосным.

Если то эллипсоид (5.25) называется вытянутым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса вокруг его большой оси (рис.3.13, а).

Если то эллипсоид (5.25) называется сжатым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса вокруг его малой оси (рис.3.13, б).

Рис. 3.13

Если , то эллипсоид (5.25) является сферой радиуса а с центром в начале координат.

Вершинами трехосного эллипсоида называются точки пересечения эллипсоида с его главными осями. Трехосный эллипсоид имеет шесть вершин .

Из уравнения (5.52) следует, что .

Это означает, что эллипсоид (5.25) лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами . Каждая грань этого параллелепипеда имеет с эллипсоидом (5.25) только одну общую точку – его вершину.

Плоскость хОу пересекает эллипсоид (5.25) по линии, выраженной уравнениями

или эквивалентной системой

. (5.26)

Аналогично плоскость yOz пересекает эллипсоид (5.25) по линии, уравнение которой

, (5.27)

а плоскость xOz по линии

. (5.28)

Линии (5.26), (5.27), (5.28) суть эллипсы. Эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида (5.25) его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения эллипсоида (5.25) плоскостями, параллельными какой-нибудь координатной плоскости, например, плоскостями, параллельными плоскости хОу, т.е. плоскостями, выражаемыми уравнением

,

где h – произвольное действительное число.

Уравнения линии сечения имеют вид

или

. (5.29)

Если , то первому уравнению этой системы не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел х, у, т.е. система (5.29) не имеет действительных решений. Это означает, что плоскость при не пересекает эллипсоид (5.25).

При первое уравнение системы (5.29) имеет вид

,

откуда . Таким образом, плоскости встречают эллипсоид (5.25) в его вершинах . Наконец, если , то систему уравнений, выражающих линию сечения, можно переписать так:

.

Эти уравнения являются уравнениями эллипса, лежащего в плоскости сечения ; центр этого эллипса – точка , оси симметрии параллельны осям Ох и Оу, а полуоси равны

.

Рассмотренные сечения дают представление о форме эллипсоида. Такой способ исследования поверхности называется методом параллельных сечений; им мы будем пользоваться в дальнейшем при исследовании и других поверхностей.

Дата добавления: 2014-11-29