Условие перпендикулярности прямой и плоскости

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.

Углом между прямой и плоскостью (если они не перпендикулярны) называется меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным .

Ортогональной проекцией прямой на плоскость называется прямая, образованная пересечением данной плоскости с плоскостью, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости.

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат задана плоскость общим уравнением

(4.8)

и прямая – каноническими уравнениями

. (4.9)

Обозначим угол между прямой и плоскостью через , а угол между нормальным вектором , перпендикулярным данной плоскости, и направляющим вектором данной прямой – через (рис.3.7).

Тогда (рис. 3.7, а) или (рис. 3.7, б), а . Но косинус угла между векторами и равен

,

следовательно, синус угла между данной прямой и данной плоскостью определяется по формуле

.

Рис. 3.7

Если прямая (4.9) перпендикулярна плоскости (4.8), то направляющий вектор прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е. существует такое отличное от нуля число , что

,

или

.

Обратно, если выполнены эти соотношения, то векторы и коллинеарны, т.е. направляющий вектор данной прямой коллинеарен вектору , перпендикулярному данной плоскости, следовательно, данная прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

Итак, для того, чтобы прямая и плоскость, заданные относительно декартовой прямоугольной системы координат, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора прямой были пропорциональны коэффициентам при x, y, z в уравнении плоскости.

Дата добавления: 2014-11-29