Канонические и параметрические уравнения прямой

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Прямая линия в трехмерном пространстве может быть задана различными способами: точкой и направлением, пересечением двух плоскостей, двумя точками и др.

В декартовой системе координат уравнения прямой, проходящей через точку и имеющий направляющий вектор , будут

. (4.1)

Эти уравнения называют каноническими уравнениями прямой в трехмерном пространстве или в параметрической форме

. (4.2)

Действительно, пусть – произвольная точка; она лежит на прямой, проходящей через точку М ₀, коллинеарной вектору тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

.

Так как , то необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и можно записать еще и так:

(вектора пропорциональны),

или

, (4.3)

откуда сразу получаются уравнения (4.2).

В уравнениях (4.1) одно или два числа из чисел могут быть равными нулю. Одновременно все три числа не могут обращаться в нуль, так как . Будем считать, что если один из знаменателей уравнения (4.1) обращается в нуль, то соответствующий числитель обращается также в нуль. Например, отношение означает, что или , т.е. оно определяет плоскость, перпендикулярную к оси Ох.

Если , то направляющий вектор перпендикулярен к оси абсцисс. Тогда уравнения

определяют прямую, перпендикулярную к оси Ох.

Аналогично уравнения, в которых или , определяют соответственно прямые, перпендикулярные к осям Oy и Oz. Если , или , или , то уравнения (4.1) определяют прямые, параллельные соответственно координатным осям Oz, Oy, Ox..

Канонические и параметрические уравнения прямой в трехмерном пространстве можно записать и в векторной форме. Для этого введем радиус-вектор точки и радиус-вектор точки . Тогда, в силу коллинеарности векторов и , их векторное произведение равно нуль-вектору

(4.4)

а уравнение (4.3) принимает вид

или . (4.5)

В координатном выражении уравнение (4.4) принимает вид уравнений (4.1) и поэтому оно называется каноническим уравнением прямой в векторной форме, а уравнение (4.5) – вид уравнений (4.2) и называется уравнением прямой в трехмерном пространстве в векторно-параметрической форме.

Дата добавления: 2014-11-29