Взаимное расположение трех плоскостей

Условие совпадения двух плоскостей

Если плоскости (3.12) и (3.13) совпадают, то ранги основной и расширенной матриц системы, состоящей из уравнений (3.12) и (3.13), должны совпадать (система совместна) и быть равными единице (нормальные вектора и коллинеарны), т.е.

= .

Отсюда получаем условие совпадения плоскостей

,

или

.

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат x, y, z заданы три плоскости общими уравнениями

(3.17)

На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные условия взаимного расположения трех плоскостей.

1. Если определитель основной матрицы не равен нулю, то три данные плоскости имеют и притом только одну общую точку, так как в случае система (3.17) имеет и притом только одно решение: это решение, т.е. координаты единственной общей точки, принадлежащей трем данным плоскостям, мы получим, решив систему (3.17) (например, по формулам Крамера).

2. Если , а ранг расширенной матрицы равен трем и среди нормальных векторов , и нет коллинеарных, то система несовместна ( > ); плоскости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны.

3. Если , , и среди нормальных векторов , и есть два коллинеарных (все три не могут быть коллинеарны, так как ), то система несовместна; причем две плоскости параллельны, а третья их пересекает.

4. Если , и среди нормальных векторов , и нет коллинеарных, то плоскости попарно различны и проходят через одну прямую.

5. Если , и среди нормальных векторов , и есть два коллинеарных, то две плоскости совпадают, а третья их пересекает.

6. Если , но коэффициенты любой пары уравнений (3.17) непропорциональны, то плоскости попарно параллельны.

7. Если , но среди уравнений (3.17) есть только два уравнения, коэффициенты которых пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна.

8. Если , т.е. коэффициенты всех уравнений пропорциональны, то все плоскости совпадают.

Дата добавления: 2014-11-29