Условия перпендикулярности и компланарности вектора и плоскости, заданной общим уравнением

Теорема 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор перпендикулярен плоскости, заданной уравнением .

Доказательство. Возьмем на плоскости, заданной общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, две произвольные различные точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) и М ₂(х ₂, у ₂, z ₂). Тогда

, ,

откуда

или

. (3.8)

Следовательно, если вектор перпендикулярен любой прямой , лежащей на данной плоскости, то он перпендикулярен и самой плоскости.

При условии, что М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) = М ₀(х ₀, у ₀, z ₀), а М ₂(х ₂, у ₂, z ₂) = М (х, у, z), уравнение (3.8) называется векторным уравнением плоскости, проходящей через точку М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) и перпендикулярной к вектору , который называется главным или нормальным вектором плоскости.

Теорема 2. Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве заданы вектор и плоскость общим уравнением

. (3.9)

Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и данной плоскости имеет вид

.

Доказательство.Необходимость. Если вектор компланарен плоскости, заданной общим уравнением (3.9), то он перпендикулярен главному вектору плоскости и, следовательно,

.

Достаточность. Если , то вектор перпендикулярен вектору , а значит он компланарен плоскости, для которой вектор является главным, т.е. заданной уравнением (3.9).

Из теорем 1 и 2 следует, что если А = 0, то уравнение (3.9) принимает вид

(3.10)

и определяет плоскость, нормальный вектор которой перпендикулярен к оси Ох. Следовательно, уравнение (3.10) определяет плоскость, параллельную или проходящую через ось Ох.

Аналогично условия В = 0 и С = 0 являются необходимыми и достаточными условиями того, что плоскость соответственно параллельна или проходит через ось Оу, параллельна или проходит через ось Оz.

Отсюда следует, что плоскость параллельна или совпадает с одной из координатных плоскостей тогда и только тогда, когда в общем ее уравнении (3.9) два из коэффициентов А, В, С обращаются в нуль.

Таким образом, уравнения , или и только уравнения первой степени такого вида в случае являются уравнениями плоскостей, параллельных координатным, а в случае уравнениями координатных плоскостей соответственно уОz, хОz, хОу.

Отметим также, что необходимым и достаточным условием того, что плоскость, заданная общим уравнением (3.9), проходит через начало координат, является равенство D = 0, так как в этом случае этому уравнению удовлетворяет точка О (0, 0, 0).

Дата добавления: 2014-11-29