Уравнение плоскости в отрезках

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ, НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ОДНОЙ ПРЯМОЙ

Пусть даны три точки: М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), М ₂(х ₂, у ₂, z ₂) и М ₃(х ₃, у ₃, z ₃), не лежащие на одной прямой. Эти точки однозначно определяют плоскость, проходящую через них. Найдем уравнение этой плоскости.

Возьмем произвольную точку пространства М (х, у, z) и построим векторы

Точка М (х, у, z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы лежат в этой плоскости, т.е. когда они компланарны следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю:

Запишем это произведение через координаты перемножаемых векторов. Имеем

(3.11)

Уравнение (3.11) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Если плоскость не проходит через начало координат и пересекает все оси декартовой системы координат соответственно в точках , то ее уравнение на основании предыдущего параграфа можно записать в виде

,

или

.

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Дата добавления: 2014-11-29