Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Две прямые трехмерного пространства называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны, т.е. не лежат в одной плоскости. Через две скрещивающиеся прямые можно провести только две параллельные между собой плоскости. Расстояние между этими плоскостями есть кратчайшее расстояние между данными прямыми, – длина отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы которого лежат на этих прямых.

Пусть две скрещивающиеся прямые заданы уравнениями (4.7) и требуется найти кратчайшее расстояние между ними d.

Векторное произведение направляющих векторов и заданных прямых, есть вектор, перпендикулярный к каждой из этих прямых: . Тогда кратчайшее расстояние d между ними равно абсолютной величине проекции вектора

,

начало и конец которого лежат соответственно на первой и второй прямых, на прямую, параллельную вектору .

, или .

В координатах

.

Отметим, что эта формула верна и для двух пересекающихся прямых: числитель обратится в нудь, знаменатель отличен от нуля и мы получим .

ГЛАВА 5

Дата добавления: 2014-11-29