Сущность метода статистических испытаний

Статистическое моделирование систем

Далеко не всегда можно построить аналитическую модель, как функциональную зависимость выходного параметра системы от входных параметров. В этих случаях пользуются построением статистических моделей.

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью электронно-вычислительных машин (ЭВМ) функционирования вероятностной модели некоторого объекта.

Статистические модели получили развитие как метод Монте-Карло. Методами Монте-Карло обычно называют методы решения всевозможных задач, основанные по моделированию случайных величин на ЭВМ.

Задачи статистического моделирования состоят в том, чтобы, используя ЭВМ воспроизводить поведение статистических моделей, устанавливая связь алгоритмов моделирования с алгоритмами решения задач вычислительной математики с помощью метода Монте-Карло и на этой основе строить удобные в вычислительном отношении модели, позволяющие получать необходимые характеристики объекта. Для этого необходимо научиться:

- с помощью специальных методов и средств вырабатывать программы реализации случайных чисел;

- с помощью этих чисел получать реализацию случайных величин или случайных процессов с более сложными законами распределения;

- с помощью полученных реализаций вычислять значения величин, характеризующих модель, и производить обработку результатов экспериментов.

Моделирование случайных процессов строится на основе базовых распределений случайных величин.

Метод статистических испытаний применяется для моделирования сложных систем, в которых не возможно или не целесообразно получить аналитические модели, описывающие протекающие процессы. Данный метод также используется в случаях, когда реальные испытания системы оказываются дорогостоящими или их не возможно проводить по причинам социального, военного и других смыслов. Например, необходимо определить вероятность попадания ракеты в цель. Для этого необходимо произвести 1000 пусков – это дорого. Поэтому строят математический аналог системы, проводят испытания и обрабатывают полученные результаты.

Суть метода заключается в замене эксперимента с реальной системой, экспериментом с ее математическим аналогом и имитацией работы системы (имитационное моделирование).

Метод статистических испытаний основан на законах больших чисел, а именно на двух предельных теоремах Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева: при неограниченном проведении опытов среднее арифметическое по вероятности стремится к математическому ожиданию .

, (1.1)

где .

Теорема Бернулли: при неограниченном увеличении опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

, (1.2)

где .

Теорема Бернулли позволяет определить вероятность совершения некоторого события.

Испытания проводятся следующим образом. Известна некоторая система S (рисунок 1.1). В кибернетике – это, как правило, черный ящик. Система S имеет множество входов X и один выход Y.

Рисунок 1.1 – Система S

Множество входов - случайные величины. О каждой случайной величине известно:

- функция распределения;

- математическое ожидание и дисперсия распределения.

Нас интересует выходная величина Y, которая не известна, но мы знаем, что выходная величина Y каким-то образом зависит от входных параметров X, однако сами функциональные зависимости нам неизвестны.

Чтобы построить математический аналог системы, надо разработать алгоритм функционирования системы. Систему представляют как совокупность взаимосвязанных подсистем, на вход которых поступают величины , распределенные по определенному закону. Эти случайные величины должны пройти определенное количество блоков, чтобы попасть на выход системы. Процесс моделирования заключается в многократном повторении опытов над системой. Результат получается следующим образом.

1 Каждая случайная величина получает некоторое случайное значение и тогда, выходная величина Y принимает также определенное случайное значение:

.

2 Далее все повторяется, и мы получаем:

.

.........

N Получаем последнее случайное значение выходной величины:

.

Результат моделирования получаем как среднее значение случайных величин на выходе системы:

. (1.3)

Причем, при среднее значение (случайная величина) сходится по вероятности к ее математическому ожиданию согласно предельной теореме Чебышева.

Таким образом, моделирование содержит три этапа:

1 Разработка и ввод в ЭВМ моделирующего алгоритма.

2 Генерирование входных случайных величин с заданными функциями и параметрами распределения и многократное повторение опытов.

3 Статистическая обработка результатов моделирования.

Дата добавления: 2014-11-29