КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Статистическая проверка гипотез
Определить положение центра группирования и доверительный интервал J с надежностью b. Пример № 3. Имеем выборку. Таблица 2.2
1 Определим оценку математического ожидания
м.
2 Оценка среднего квадратического отклонения
м.
3 Оценка среднего квадратического отклонение математического ожидания
м.
4 Доверительный интервал определяется с помощью таблиц распределения Стьюдента по формуле:
.
5 Число степеней свободы равно n-1=9. Из таблицы Стьюдента определяем:
тогда , а , то есть при оценка попадает в интервал, J1 а с надежностью имеем интервал J2 Если оценку проводить не по закону Стьюдента, а по нормальному закону то получим следующие результаты. При tb= 1,643, при t b=2,576. Ошибка в определении интервала e при 11.26/12.89 составляет 13 %, при 18,06/22,79 составляет 12 %.
С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического прогресса, об эффективности нового метода обучения, управления, о пользе вносимого удобрения, лекарства, об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т.д. Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Различают простую и сложную статистические гипотезы. При простых гипотезах обязательно известен закон распределения исследуемой случайной величины и оценка математического ожидания строго равна табличному значению. При проверке сложных гипотез не известен закон распределения случайной величины, и нет строгого равенства между табличным значением и оценкой математического ожидания.
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. Правило, по которому гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом. Все проверки гипотез дают ответ с определенной степенью надежности. Для этого задается уровень значимости. Определение. Вероятность допустить ошибку 1-го рода, то есть отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия. Вероятность допустить ошибку 2-го рода, то есть принять гипотезу , когда она неверна, обычно обозначают . Определение. Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, то есть отвергнуть гипотезу , когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия. Различают двусторонний критерий и односторонний. При двустороннем критерии назначается доверительная вероятность, и отсекаются «хвосты» нормального распределения, то есть они для нас незначимы. Если рассматриваем статистику (хи-квадрат), то тоже имеем два «хвоста», которые для нас незначимы (рисунки 2.1, 2.2). Если изменение физической величины происходит только в одну сторону, то необходимо рассматривать односторонний критерий (рисунок 2.3).
Уровень значимости α это число, дополняющее доверительную вероятность b до единицы. Доверительная вероятность, это синоним надежности, или по-другому степень уверенности.
Значимость с точки зрения проверки гипотезы означает принять гипотезу с определенной уверенностью или отвернуть ее, если оценка попадает в интервал не принятия гипотезы. Для проверки гипотез вводится случайная величина, для которой обязательно известен закон распределения. Эта случайная величина практически реализуется на интервале, который мы будем разделять на зону принятия и не принятия гипотезы. Чтобы указать эту зону не принятия гипотезы, задаем уровень значимости . При этом если критерий односторонний, то . Для двустороннего критерия имеем:
Если результат оценки параметра попадает в область , то гипотеза отвергается, если нет, то гипотеза принимается с надежностью . Данный подход широко используется при оценке качества продукции. Так если по выборке из партии оценка результата попадает в интервал , то партия бракуется. Уровень значимости назначают от 1% до 10%, то есть от величины a зависит величина заслона некачественной продукции. Не случайно для продукции, которая выпускается на экспорт уровень значимости a – очень велик. Если уровень значимости a низкий, то вероятность пропустить некачественную продукцию увеличивается. Однако, при оценке продукции можно забраковать хорошую партию изделий из-за некачественной выборки. Это и есть ошибка второго рода. Ошибка второго рода рассматривается, когда вводится конкурирующая гипотеза.
Графически гипотезы представим на рисунке 2.4
На рисунке 2.4 мы видим, что a – это риск поставщика, вероятность забраковать качественную продукцию (отвергнуть гипотезу Н0). b – это риск заказчика, вероятность принятия неверной гипотезы. 1 – b – вероятность отвергнуть неверную гипотезу (функция мощности критерия). Если a уменьшать, то b будет увеличиваться, то есть если риск поставщика уменьшить, то риск заказчика будет увеличиваться. Функция мощности критерия в зависимости от b приведена в таблице 2.3.
Таблица 2.3 – Функция мощности критерия
Мощность критерия подчиняется статистике :
.
Итак, допустим, полученное математическое ожидание mx1 отличается от табличного значения. Приняли гипотезу в виде закона распределения случайной величины mx1. Значения a и b назначили. Необходимо определить количество опытов, чтобы удовлетворить заданным a и b.
Имея уровень доверительной вероятности a для нормального закона, запишем: ;
– для гипотезы : ;
– для новой гипотезы H 1:
yкрa=(хкр-mх)/sх , где mx – табличное значение. yкр1-b=(хкр-mх1)/sх ,
где mx1 – конкурирующее значение.
Произведем замену переменных , – случайная величина (оценка), имеет отклонение
,
тогда
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 699; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |