Выразим из формулы и вычтем уравнения

,

отсюда число опытов при заданных a и b

.

Общая схема проверки статистических гипотез.

1 Выдвигаются две гипотенузы Н₀ и её альтернатива Н₁.

2 Выбирается критерий или статистика, по которой будут проверяться гипотезы.

3 Назначается уровень значимости, то есть ошибка1-го рода:

если критерий двусторонний – a делится на две области.

По величине a устанавливаем границу х_{кр .}

4 Правило принятия решения.

Если опытное значение критерия оказалось в критической области, то есть в a, гипотеза Н₀ – отвергается.

Если статистика попала в область, определенную 1 – a то, следовательно, делается вывод – опытные данные не противоречат гипотезе Н₀.

5 Проверка уровня мощности критерия 1 – b.

По 1 – b находится риск заказчика b, и только проанализировав его, принимается решение провести дополнительные исследования или принять гипотезу.

Пример № 4. Стреляют три гаубицы по три выстрела каждая. Обнаружено отклонение центра группирования от табличного.

Ошибка дальномера при определении дальности s ² = 16 м, m_x = 20 м – табличное значение, m_x1 = 22 м – опытное значение.

Необходимо принять решение, что математическое ожидание m_x = 20 м, а m_x1 = 22 м – это следствие ограниченной выборки.

Выдвигаем гипотезы

Выбираем статистику – нормальный закон распределения, так как математическое ожидание распределено по нормальному закону. В качестве статистического критерия выбираем оценку математического ожидания.

По условиям задачи выбираем односторонний критерий. Назначим a =0,05. По a надо определить х_{кр .} (критическое).

;

Производим замену переменных

;

.

То есть мы попали не в критическую область, но находимся очень близко к ней.

Рисунок 2.5 – Конкурирующие гипотезы

Следовательно, m_x1 не принадлежит критической области, поэтому гипотезу Н₀ отвергнуть нельзя. Так как m_x1 близко расположена к критической области, то произведем оценку риска заказчика 1 – b.

Оценим риск заказчика: вычислим площадь 1 – b конкурирующей альтернативы

то есть

Риск заказчика очень велик. Теперь попробуем изменить α и посмотрим, что будет с нашими гипотезами. Увеличим уровень значимости с 0,05 до 0,1.

.

По другому уровню находим новое

;

;

;

.

То есть наша оценка при уровне значимости 0,1 попала в критическую область. Гипотезу Н₀ – отвергаем.

Теперь “подвигаем” гипотезу. Выберем – старое ( = 0,05), а опытное значение оценки математического ожидания получили не 22 м, а 24 м.

То есть ,

,

следовательно .

То есть, если опытное значение равно 24 гипотеза Н₀ отвергается и при этом риск заказчика очень маленький.

Сколько же необходимо сделать опытов, чтобы при заданных α и β решить вопрос о преемственности (приеме) выборки.

Не известно n и не известно , задано = 0,05 – 5 % и β = 0,1 – 10 %. Какую выборку нужно сделать?

Решая данную систему уравнений, получим количество опытов необходимое для удовлетворения заданных и β равное n = 35. При n = 35 получаем, что . То есть гипотеза Н₀ отвергается, поскольку (наша оценка) попадает в критическую область.

Если в результате 35 опытов среднее значение окажется меньше , то мы будем обязаны принять гипотезу Н₀.

Дата добавления: 2014-11-29