КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интервальная оценка параметров
Экспериментальных данных Статистические методы анализа и обработки
2.1.1 Приближенные методы построения доверительных интервалов
В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать – к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра его точечной оценкой (точечная оценка - оценка, которая определяется одним числом) и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Все оценки параметров распределения выборки носят случайный характер и от параметров генеральной совокупности могут сильно отличаться. Нас интересует интервал J , который с заданной надежностью накрывал бы неслучайное значение параметра генеральной совокупности , такой интервал называется доверительным. Понятия надежность и доверительная вероятность равнозначны. Обычно величину доверительной вероятности принимают в пределах от 0.95 до 0.99. Нахождение доверительных интервалов основано на том, что математическое ожидание, дисперсия и сама оценка распределена по нормальному закону. Как при заданной надежности (доверительной вероятности) найти интервал J , чтобы этим интервалом накрыть оценку параметра ? В данном случае – выступает как мера точности. Приближенный метод нахождения интервала заключается в том, что в выражении для неизвестные параметры заменяют их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов n (порядка 20-30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.
Вероятность того, что оценка не превысит интервал – подчиняется нормальному закону: , отсюда получим следующее выражение:
,
где – точность оценки; – функция Лапласа.
Это выражение позволит рассчитать точность оценки
,
где – среднеквадратичное отклонение оценки параметра ; – распределение Лапласа (определяется в зависимости от величины доверительной вероятности (таблица 2.1)).
Таблица 2.1 – Распределение Лапласа
В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Точность оценки определим по формуле:
,
с другой стороны среднеквадратическое отклонение оценки математического ожидания равно
,
отсюда получим количество опытов
. Пример №1. В результате равноточных измерений получили ошибку измерения , а . Сколько необходимо произвести опытов, чтобы обеспечить заданную точность и надежность? Зададим величину доверительной вероятности тогда . Если выбрать доверительный интервал секунд, то по формуле получим:
опытов.
Если выбрать доверительный интервал секунд, то по формуле получим:
опытов.
Вывод: С увеличением доверительного интервала, количество опытов уменьшается, чтобы интервалом накрыть нашу оценку.
Пример № 2. Построить доверительный интервал J при доверительной вероятности и , если м, а м. Из таблицы 2.1
и ; ; м; ; м; J , J . 2.1.2 Точные методы построения доверительных интервалов
(применительно к математическому ожиданию и дисперсии) До сих пор при определении доверительных интервалов пользовались статистикой нормального закона распределения.
. Нормальный закон дает хорошие результаты при большом количестве выборки n. При малом количестве выборки n лучше пользоваться статистикой Стьюдента. Формула Стьюдента очень сложная и имеет вид:
,
где – Гамма функция.
Для удобства работы с функцией Стьюдента вводится новая переменная ,
где – распределение по закону Стьюдента (представленное в виде таблицы приложения Г); – оценка математического ожидания; – оценка дисперсии распределения.
Тогда в новых переменных функцию распределения запишем в виде:
,
отсюда
,
и ошибка будет равна
Точный метод основан на использовании закона распределения Стьюдента.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1288; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |