Распределения

Формирование случайных величин с заданными законами

Существуют различные способы «порождать» случайные числа с помощью ЭВМ.

Например, метод обратных функций, метод суперпозиции.

Важно понять, что для получения значений случайных величин с произвольной функцией распределения достаточно уметь находить значения какой-нибудь одной «стандартной» случайной величины, так как всегда можно подобрать такую функцию от этой случайной величины, которая имела бы требуемый закон распределения. В качестве такой случайной величины обычно берут случайную величину R, имеющую равномерное распределение на отрезке . Формирование случайных величин с заданным законом распределения будем осуществлять методом обратного преобразования. Сформулируем правила метода обратных функций.

Правило 1. Для того чтобы разыграть возможное значение x_i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F(x), надо выбрать случайное число r_i, приравнять его функции распределения и решить относительно x_i полученное уравнение F(x_i)=r_i.

Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.

Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение x_i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число r_i и решить относительно x_i уравнение

,

или уравнение

,

где α – наименьшее конечное возможное значение Х.

Рассмотрим более подробно данный метод. Необходимо сформировать случайную величину Х, для которой задана функция распределения:

. (1.4)

Интегральная функция изменяется от 0 до 1. Приравняв функцию можно путем обратного преобразования построить величину , которая будет соответствовать заданной функции. Построим график обратного преобразования для равномерного закона распределения (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Обратное преобразование

Формируем случайную величину R в интервале от 0 до 1 и путем обратного преобразования оказываемся в интервале .

Определим аналитические выражения для осуществления обратного преобразования.

1 Формирование случайного числа по равномерному закону.

Плотность распределения для равномерного закона имеет вид:

(1.5)

где – принимает любое значение от до .

Запишем интегральный закон распределения:

(1.6)

Приравниваем F(x) значению R и, решая уравнение относительно , получим

(1.7)

В выражении (1.7) величина равномерно распределена в интервале от до в соответствии с заданной функцией (1.5).

2 Формирование случайного числа по экспоненциальному закону.

Плотность распределения для экспоненциального закона имеет вид (рисунок 1.3)

. (1.8)

Рисунок 1.3 – Экспоненциальный закон распределения

Интегральная функция

. (1.9)

Приравниваем полученное выражение R и решим полученное уравнение относительно .

(1.10)

Логарифмируем левую и правую часть, получаем выражение

(1.11)

Если сформировать случайное число R и по формуле (1.11) определить , тогда вычисленное значение будет распределено по экспоненциальному закону с заданной интенсивностью .

3 Формирование случайного числа по нормальному закону.

Согласно центральной предельной теореме Ляпунова закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же произвольный закон распределения при необратимом увеличении числа слагаемых m, приближается к нормальному закону.

При сумме двух равномерно распределенных случайных величин в интервале получаем треугольное распределение в интервале . При сумме трех случайно распределенных величин в интервале получаем распределение в интервале , которое приближается к нормальному закону распределения (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Композиция случайных величин

Сумма m равномерно распределенных в интервале от до независимых случайных величин стремится к нормальному распределению.

Математическое ожидание и дисперсия для суммы равномерных законов на интервале имеет вид:

(1.12)

Если выбрать интервал , то математическое ожидание и дисперсия будут оцениваться по зависимостям:

(1.13)

Для получения последовательности нормально распределенных случайных величин с заданными и D () мы должны использовать величину Z_i, которая будет являться нормально распределенной случайной величиной, с параметрами N(0,1). Тогда случайная величина будет определяться по формуле:

.

Пусть – независимые случайные величины, равномерно-распределенные на отрезке , с ; . Просуммируем независимые случайные величины:

, (1.14)

отсюда нормированная величина будет иметь вид:

, (1.15)

где m – количество реализаций.

При случайная величина Z_i стремится к стандартной нормально распределенной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией равной 1.

На практике обычно берут m = 12, поэтому:

. (1.16)

Таким образом, моделирование случайной величины =N(), имеющее нормальное распределение с параметрами и , основано на использовании зависимости:

, (1.17)

где Z_i = N(0,1).

Дата добавления: 2014-11-29