Некоторые закономерности формирования потоков нагрузки. 3 страница

Примером прямых измерений может служить регистрация числа вызовов с помощью счетчиков при измерении числа поступающих вызовов, а косвенных измерений – измерение интенсивности обслуженной нагрузки путем регистрации через некоторые интервалы времени числа одновременно занятых приборов.

Непрерывные измерения являются дорогостоящими и организуются при измерении коэффициентов концентрации нагрузки, определении характера распределения нагрузки по часам суток, дням недели, месяцам года. В большинстве случаев параметры нагрузки измеряются периодически, так как это дешевле непрерывных измерений и при выборе соответствующей длительности измерений обеспечивают требуемую точность.

Эпизодические (спорадические) измерения могут начинаться, например, при появлении симптомов неудовлетворительной работы оборудования.

Для экономии средств и затрат труда при наблюдениях за параметрами нагрузки применяются, как правило, не сплошные, а выборочные измерения. В математической статистике вся подлежащая изучению совокупность однородных элементов называется генеральной совокупностью, а часть генеральной совокупности, отобранная для измерения, – выборочной совокупностью. Объем выборочной совокупности и ошибки выборочных измерений рассматриваются в следующих разделах данной главы.

При измерении нагрузки наибольшее распространение получили следующие три принципа: непрерывного измерения, сканирования, подсчета числа случайных событий.

Принцип непрерывного измерения обслуженной нагрузки поясняется схемой рис. 12.1. Каждый прибор имеет измерительный резистор R, через который ток протекает, когда прибор занят, и не протекает, когда он свободен:

где u (t) –число занятых устройств в момент t; U – напряжение питания.

В приборе, измеряющем ампер-часы, ток интегрируется за весь период измерения Т, так что обслуженная нагрузка составит

где k – градуировочная постоянная.

Принцип сканирования заключается в том, что следящее устройство поочередно подключается к линиям исследуемого пучка и в случае занятости линии посылает импульс в суммирующий счетчик. Интенсивность обслуженной нагрузки определяется в этом случае как среднее число одновременно занятых линий по формуле

где u _i -–число занятых линии при i -м сканировании; п – общее число сканирований.

Принцип подсчета числа случайных событий основан на приеме импульса при появлении каждого события. Таким способом регистрируется число поступивших, обслуженных и потерянных вызовов при измерении потерь по вызовам, число случаев занятости всех линий пучка при измерении потерь по времени и т. д. Этот принцип может быть использован также при измерении нагрузки, обслуженной устройствами, время занятия которых постоянно.

Все три принципа находят широкое применение в аппаратуре измерения параметров нагрузки и потерь.

12.3. Обработка результатов измерений

Основными задачами обработки результатов измерения являются:

вычисление оценки измеряемого параметра;

вычисление степени достоверности этой оценки.

При статистических измерениях за наиболее вероятное значение измеряемой величины принимается среднее арифметическое значение. Различают среднюю генеральной совокупности (генеральную среднюю)

и среднюю выборочной совокупности (выборочную среднюю)

где N_j, n_j– численность j-й группы элементов соответственно в генеральной и выборочной совокупностях; X_j, х_j– значения варьирующего признака в j-й группе элементов соответственно в генеральной и выборочной совокупностях; k, m – число групп элементов, в каждой из которых варьирующий признак принимает одно из своих значений, причем – число элементов генеральной совокупности, – число элементов выборочной совокупности.

Степень расхождений между собой отдельных значений изучаемого признака характеризуется среднеквадратическим отклонением. Формула среднеквадратического отклонения выборочной совокупности имеет вид

и для генеральной совокупности

Важнейшей задачей обработки результатов измерений является оценка их точности. При обработке результатов измерений параметров нагрузки и потерь необходимо учитывать: ошибки регистрации, вносимые измерительной аппаратурой (аппаратурные);; ошибки представительности выборки (репрезентативности); грубые ошибки или промахи.

Аппаратурные ошибки, в первую очередь, обусловлены принятым принципом измерений и классом точности измерительных приборов. Так, при непрерывном измерении обслуженной нагрузки (см. рис. 12.1) аппаратурная ошибка зависит от допусков на величину сопротивлений резисторов R, допустимых колебаний напряжения источника питания, класса точности прибора, фиксирующего ампер-часы.

Максимальная относительная аппаратурная ошибка b_a в данном случае является суммой относительных ошибок, возникающих вследствие неточности изготовления резисторов b_R, колебаний напряжения b _U, погрешности измерительного прибора b_п:

При использовании принципа сканирования состояния коммутационной системы фиксируются лишь через интервалы сканирования t. Ясно, что чем меньше t, тем меньше величина ошибок, связанных со сканированием. Средняя величина относительной ошибки при измерениях с использованием сканирования вычисляется по формуле

где с – суммарное число занятий за период наблюдений; l=t/`t– отношение интервала сканирования t к средней длительности одного занятия ` t. Зависимость средней относительной ошибки b_с от числа занятий с при различных значениях w приведена на рис. 12.2.

При использовании принципа подсчета числа сигналов от различных источников одним общим счетчиком появляются ошибки вследствие совпадения импульсов от нескольких источников. Ясно, что чем больше интенсивность поступления импульсов и длительность импульсов, тем больше вероятность совпадения импульсов. Зависимость средней относительной погрешности работы счетчика, используемого для фиксации независимых случайных импульсов, от интенсивности поступления импульсов m и длительности импульсов h приведена на рис. 12.3.

Ошибка репрезентативности является следствием того, что выборочная совокупность является частью генеральной совокупности, и так как часть всегда отличается от целого, то и выборочные характеристики ` х и s (х) могут отличаться от аналогичных характеристик ` X и сто генеральной совокупности.

Величина ошибки репрезентативности в значительной степени зависит от способа отбора и объема выборки.

Существуют различные способы выборочных наблюдений: случайный, типический, серийный. При случайном отборе каждая единица генеральной совокупности имеет одинаковые со всеми другими возможности попасть в выборочную совокупность.

В некоторых случаях может оказаться целесообразным рассматривать совокупность единиц не целиком, а расчлененную на группы (типы), единицы каждой из которых оказываются более похожими друг на друга, чем во всей совокупности. Выборка, произведенная в случайном порядке в каждой из установленных типических групп, называется типической. Объем выборки в каждой типической группе устанавливается пропорционально ее удельному весу в генеральной совокупности. При типическом отборе в выборочной совокупности отдельные группы оказываются представленными в такой же пропорциональности, что и в генеральной совокупности. Это увеличивает точность выборочного наблюдения.

Серийная выборка предполагает отбор из генеральной совокупности не отдельных единиц, а целых серий. Серии единиц отбираются по принципу случайного отбора, в отобранных же сериях обследование производится методом сплошного учета.

Вычисление ошибки репрезентативности рассмотрим на примере случайного отбора. Процесс отбора при случайной выборке может быть повторным или бесповторным. Повторный отбор состоит в том, что каждый элемент, попавший в выборку, после регистрации его снова возвращается в генеральную совокупность и в дальнейшем может еще раз попасть в выборку. Бесповторный отбор состоит в том, что каждый элемент, попавший в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и таким образом повторному измерению не подвергается.

Величина средней абсолютной ошибки репрезентативности случайной повторной выборки приближенно рассчитывается по формуле

где s (x) –среднеквадратическое отклонение выборочной совокупности, рассчитывается по (12.6); п – число элементов выборочной совокупности.

Поскольку состав выборочной совокупности является случайным, то выборочная средняя в отдельных выборках может значительно отличаться от генеральной средней. Учитывая, что выборочные средние распределены по нормальному закону, с определенной вероятностью можно утверждать, что отклонения выборочной средней от генеральной средней не превысят заданной величины D, которая называется предельной ошибкой выборки, а вероятность – доверительной вероятностью.

Предельная ошибка выборки D связана со средней ошибкой m соотношением

где z – коэффициент, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка.

Значения доверительной вероятности p(z) для некоторых значений коэффициента z приведены в табл. 12.1.

ТАБЛИЦА 12.1

z	1,2816	1,6449	1,96	2,58	3,29	3,9
Р (z)	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999	0,9999

Как видно из этой таблицы, с увеличением z вероятность p(z) быстро приближается к единице.

Величина относительной ошибки повторной выборки b_п с доверительной вероятностью p(z) рассчитывается по формуле

где V= s (x)/ ` x–коэффициент вариации, представляющий собой отношение среднеквадратического отклонения s (х) к среднему значению признака выборочной совокупности.

Выражения (12.10) – (12.12) справедливы, если число элементов выборочной совокупности n достаточно большое, например n >20¸50. Только в этом случае выборочные средние распределены по нормальному закону. При малых выборках кривая распределения выборочных средних является плосковершинной и описывается не нормальным распределением, а распределением Стьюдента (псевдоним английского ученого В. Госсета).

Предельная ошибка малой повторной выборки рассчитывается по формуле

где z*_n_₁– коэффициент в распределении Стьюдента. Величина этого коэффициента зависит от доверительной вероятности p(z*_{n- 1} ) и объема выборки. В табл. 12.2 Приведены значения коэффициента z*_{n -1}при различных значениях объема выборки для доверительных вероятностей р(z*_{п -1} ) =0,95 и 0,99.

ТАБЛИЦА 12.2

п– 1
p (z * n -l) = =0,95	12,71	4,3	3,18	2,77	2,57	2,23	2,13	2,08	2,04	2,02	1,96
p (z * n -l) = =0,99	63,7	9,92	5,84	4,6	4,03	3,17	2,95	2,84	2,75	2,7	2,58

При n = значения совпадают со значениями z нормального распределения, а при n =20 50 различие относительно невелико. Подробные таблицы значений z и приведены в [29].

Для вычисления ошибок репрезентативности случайной бесповторной выборки правые части выражений (12.10), (12.12) и (12.13) необходимо домножить на где N – число элементов генеральной совокупности.

Грубые ошибки или промахи являются следствием недостатка внимания экспериментатора. Источником грубых ошибок могут быть, например, неисправности в измерительных приборах или в коммутационной аппаратуре. Для устранения промахов необходимо соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. При планировании измерений должны быть предприняты необходимые меры для устранения промахов.

При определении точности результатов измерений следует учитывать как аппаратурные ошибки b_а, так и ошибку репрезентативности b_р. Предельная суммарная относительная ошибка измерений может быть определена как сумма предельных значений этих ошибок:

Доверительная вероятность суммарной ошибки измерений в первом приближении может оцениваться доверительной вероятностью ошибки репрезентативности.

Кроме ошибок измерений достоверность конечного результата зависит от точности вычислений при обработке результатов измерений. Рекомендуется придерживаться следующего правила: ошибка вычислений должна быть примерно на порядок (т. е. в 10 раз) меньше суммарной ошибки измерений.

12.4. Определение объема измерений

Как установлено в предыдущем параграфе, некоторые составляющие суммарной ошибки измерения, например обусловленные классом точности приборов, не зависят от объема измерений, другие составляющие, например ошибки репрезентативности, в основном определяются объемом измерений.

Из выражения (12.10) следует, что с увеличением объема измерений ошибка репрезентативности уменьшается, однако уменьшать ее целесообразно только до тех пор, пока суммарная ошибка измерений не будет в основном определяться аппаратурной ошибкой. Практически при измерении параметров телефонной нагрузки относительную ошибку репрезентативности принимают порядка 5–10% с доверительной вероятностью 0,95 или 0,99.

Для расчета минимального объема выборки n с заданной доверительной вероятностью p(z), исходя из предельной ошибки повторной выборки b_п, решим уравнение (12.12) относительно п:

Для бесповторной выборки

До начала измерений коэффициенты вариации V в (12.15) и (12.16) неизвестны, поэтому объем выборки можно определить лишь приближенно, задавшись значениями коэффициентов вариации по результатам предыдущих аналогичных измерений. После получения результатов измерений необходимый минимальный объем выборки уточняется.

Задача 12.1.

Задано: на АТС в результате проведения 1850 измерений длительности разговора на ступени линейных искателей оказалось, что средняя длительность разговора ` T =99,5 с, среднеквадрэтическое отклонение s(T) =82,5 с.

Рассчитать: относительную ошибку репрезентативности при доверительной вероятности p(z) = 0,99.

Решение. Так как на ступень линейных искателей вызовы могут поступать. от любых абонентов станции и в выборку может попасть несколько вызовов от любого абонента, то выборка является случайной повторной. По (12.12) имеем

Задача 12.2.

Задано: интенсивность поступающей на АТС нагрузки с 10 до 11 часов, измеренная в течение n = 10 рабочих дней (первая строка табл. 12.3).

Рассчитать: абсолютную ошибку репрезентативности в определении средней интенсивности поступающей на АТС с 10 до 11 часов нагрузки с доверительной вероятностью p(z*_{n -1} ) =0,95.

Решение. Измерения выполнены по схеме повторной малой выборки. Предельная ошибка репрезентативности в данном случае рассчитывается по (12.13). Для расчета ошибки необходимо найти среднее значение и средне квадратическое отклонение интенсивности нагрузки (табл. 12.3):

ТАБЛИЦА 12.3

i											—
yi
yi- ` y			–2		–2	–12		–6			––
(yi- ` y) ^2								Зб'

Коэффициент z *=2,26 определен при k=п– 1=9 степенях свободы и доверительной вероятности р (z * _{n -1}) = 0,95.

Контрольные вопросы

1. Каковы основные цели измерения параметров нагрузки и потерь?

2. Назовите основные вопросы, которые необходимо решать при организации измерений параметров нагрузки и потерь.

3. Приведите основную классификацию измерений параметров нагрузки и потерь.

4. Поясните принцип непрерывного измерения обслуженной нагрузки.

5. Сформулируйте теорему, на основании которой измерение обслуженной пучком линий нагрузки производится путем сканирования состояния этих линий.

6. Назовите параметры нагрузки, которые измеряются с использованием принципа подсчета числа случайных событий.

7. Перечислите типы ошибок, которые необходимо учитывать при измерении параметров нагрузки и потерь.

8. Назовите причины аппаратурных ошибок.

9. Назовите основные факторы, от которых зависит величина ошибки репрезентативности.

10. Поясните, в чем состоит повторный и бесповторный отбор.

11. Назовите объем выборочной совокупности, начиная с которого выборку считают малой.

Список литературы

Учебная

1. Аваков Р. А. и др. Координатные АТС. М.: Связь, 1966.

2. Аваков Р, А. и др. Учебное пособие по курсовому проектированию координатных АТС. Л.: ЛЭИС, 1961.

3. Автоматические системы коммутации/Под ред. О. Н. Ивановой. М.: Связь, 1978.

4. Автоматическая коммутация и телефония. Ч. И/Под ред. Г. Б. Метельско-го. М.: Связь, 1969.

5. Автоматическая междугородная и сельская телефонная связь/Под ред. Е. А. Зайончковского. М.: Связь, 1976.

6. Бухгейм Л. Э., Максимов Г. 3., Пшеничников А. П. Автоматическая сельская телефонная связь. М.: Связь, 1976.

7. Городские координатные автоматические телефонные станции и подстанции/Аваков Р. А. и др. М.: Связь, 1971.

8. Ионин Г. Л. Теория телетрафика. Рига: РПИ, 1975.

9. Корнеев Ю. В., Корнышев Ю. Н., Шилов О. С. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теория телефонных и телеграфных сообщений». Одесса: ОЭИС, 1972.

10. Корнышев Ю. Н., Мамонтова Н. П. Задачник по теории телефонных и телеграфных сообщений. Одесса: ОЭИС, 1974.

11. Корнышев Ю. Н. Потоки вызовов и нагрузка. Одесса: ОЭИС, 1975.

12. Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телефонных и телеграфных сообщений. М.: Связь, 1971.

13. Лившиц Б. С., Мамонтова Н. П. Учебное пособие по теории телефонных сообщений. Л.: ЛЭИС, 1970.

14. Максимов Г. 3., Пшеничников А. П. Телефонная нагрузка местных сетей связи. М.: Связь, 1969.

15. Мархай Е. В., Рогинский В. Н., Харкевич А. Д. Автоматическая телефония. М.: Связьиздат, 1960.

16. Проектирование городских координатных автоматических телефонных станций/Копп М. Ф., Корнышев Ю. Н., Шилов О. С. и др. М.: Связь, 1975.

17. Харкевич А. Д., Шитова Д. С. Проектирование сети соединительных линий с учетом кроссовой коммутации. М.: ВЗЭИС, 1975.

18. Харкевич А. Д. Расчет числа соединительных линий на сетях с обходными направлениями. М.: ВЗЭИС, 1976.

19. Харкевич А. Д., Самхарадзе Т. Г., Ситников С. Г. Расчет многозвеньевых коммутационных схем для ивазиэлектронных АТС.. М.: ВЗЭИС, 1978.

20. Шилов О. С. Методы расчета обходных направлений на телефонных сетях. Одесса: ОЭИС, 1977.

21. Шилов О. С. Измерение параметров телефонного сообщения. Одесса: ОЭИС, 1976.

Справочная

22. Башарин Г. П. Таблицы вероятностей и средних квадратических отклонений потерь на полнодоетупвом пучке линий. М.: АН СССР, 1962.

23. Захаров Г. П., Варакосин Н. П. Расчет количества каналов связи при обслуживании с ожиданием. М.: Связь, 1967.

24. Ионин Г. Л., Седол Я. Я. Таблицы вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. М.: Наука, 1970.

25. Корнышев Ю. Н., Шилов О. С. Методы расчета коммутационных систем связи (справочные материалы). Одесса: ОЭИС, 1975.

26. Лившиц Б. С., Фидлин Я. В. Системы массового обслуживания с конечным числом источников. М.: Связь, 1968.

27. Мамонтова Н. П. Справочные материалы (таблицы). Л.: ЛЭИС, 1970.

28. ГОСТ 21835–76. Сообщение телефонное. Термины и определения.

29. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Военное издательство Министерства обороны ССОР, 1966.

30. Шнепс М. А. Системы распределения информации. Методы расчета. М.: Связь, 1979.

31. Lotze A., Botsch D., Schehrer R. Tables for overflow variance coefficient and loss of gradings and full available groups. Stuttgart, 1966.

32. Palm C. Table of the Erlang ioss Formula. Second edition. L. M. Ericsson. Stockholm, 1954.

33. Wilkinson R. I. Nonrandom traffic curves and tables. Bell telephone laboratories, 1970.

34. Telephone Iraffic theory tables and charts. Part 1. Siemens aktiengesells-chaft, 1970.

Дополнительная

35. Архангельская А. А., Ершов В. А., Нейман В. И. Автоматическая коммутация каналов связи. М.: Связь, 1970.

36. Башарин Г. П., Харкевич А. Д., Шнепс М. А. Массовое обслуживание в телефонии. М.: Наука, 1968.

37. Бенеш В. Э. Математические основы теории телефонных сообщений, М.: Связь, 1968.

38. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1968.

39. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

40. Давыдов Г. В., Рогинский В. Н., Толчан А. Я. Сети электросвязи. М.: Связь, 1977.

41. Ершов В. А. Коммутация на интегральной цифровой сети связи. М.: Связь, 1978.

42. Ионин Г. Л., Седол Я. Я. Программирование и статистическое моделирование на БЭСМ-4. Рига: ЛГУ, 1976.

43. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. М.: Наука, 1970.

44. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.

45. Кокс Д., Смит У. Теория очередей. М.: Мир, 1966.

46. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. М.: Мир, 1965

47. Лившиц Б. С., Мамонтова Н. П. Развитие систем автоматической коммутации каналов. М.: Связь, 1976.

48. Мархай Е. В. Основы технико-экономического проектирования городских телефонных сетей. М.: Связьиздат, 1953.

49. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М.: Физматгиз, 1962.

50. Нейман В. И. Структуры систем распределения информации. М.: Связь. Л 975.

51. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь. 1966.

52. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971.

53. Сети ЭВМ/Под ред. В. М. Глушкова. М.: Связь, 1977.

54. Теория телетрафика: Пер. с нем./Под ред. Г. П. Башарина. М.: Связь, 1971.

55. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1967.

56. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.

57. Шнепс М. А. Численные методы теории телетрдфика. М.: Связь, 1974.

58. Эллдин А., Линд Г. Основы теории телетрафика. М.: Связь, 1972.

59. Pollaczek F. Theorie analytigue des problemes stochastgues relative a un group de lignes telephonigues avec dispositiv d'attente. Paris, 1961.

60. Takacs L. Combinatorial methods in the theory of stochastic processes. Wiley, N.-Y., 1967.

Статьи

61. Базлен Д., Кампе Т., Лотце А. Исследование звеньевых систем группового искания.– Экспресс-информация. Передача информации, сентябрь 1973,.№ 35.

62. Духовный И. М., Шимко М. Ф. Оценка эффективности контроля состояний пучков каналов на сети с динамическим управлением.–В кн.: Теория телетрафика и информационные сети. М.: Наука, 1977, с. 91–98.

63. Зелинский А. М., Корнышев Ю. Н. Две модели системы с повторными вызовами.– Электросвязь, 1978, № 1.

64. Ионин Г. Л., Седол Я. Я. Исследование полнодостуиной схемы с повторными вызовами и предварительным обслуживанием.– В кн.: Методы теории телетрафика в системах распределения информации. М.: Наука, 1975, с. 75–83.

65. Корнышев Ю. Н. Однолинейная система с повторными требованиями и.предварительным обслуживанием.– Техническая кибернетика, 1977, № 2, с. 83– 88.

66. Лившиц Б. С. Особенности характеристик качества обслуживания примитивного потока вызовов.– В кн.: Теория телетрафика и информационные сети..М.: Наука, 1977, с. 67–80.

67. Лотце А. Оптимальные многокаскадные коммутационные схемы.– В кн.: Вероятностные задачи в структурно-сложных системах коммутации. М.: Наука, 1969, с. 49–56.

68. Севастьянов Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным линиям с отказами.– Теория вероятностей и ее применение, 1957, т. 2, вып. 1.

69. Фидлин Я. В. Измерение параметров телефонной нагрузки.– В кн.: Системы массового обслуживания и ком!мутации. М.: Наука, 1974, с. 146–162.

70. Харкевич А. Д. Приближенный метод расчета числа соединительных устройств в АТС координатной системы. – «Электросвязь», 1959, № 2.

71. Степанов С. Н. Моменты избыточной нагрузки однолинейной системы с повторными вызовами. – Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 1, с. 88–93.

72. Школьный Е. И. Оценки вероятностей потерь для системы массового обслуживания с повторными заявками. – Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 2, с. 95–99.

73. Фалин Г. И. Однолинейная система с повторными вызовами. – Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 2, с. 107–114.

74. Lotze A., Roder A., Thierer О. PPL-A reliable method for the calculative •of Point-to-Point Loss in link systems. 8-th ITC, Melbourne, November, 1976.

75. Wilkinson R. 1. Theories for toll traffic engineering in the USA. – BSTJ,:1956, 35, № 3, p. 421–514.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ.. 5

Предисловие. 7

Основные обозначения. 8

ГЛАВА ПЕРВАЯ.. 10

Предмет и задачи теории телетрафика. 10

1.1. Теория телетрафика – одна из ветвей теории массового обслуживания. 10

1.2. Математические модели систем распределения информации. 10

1.3. Основные задачи теории телетрафика. 11

1.4. Общие сведения о методах решения задач теории телетрафика. 12

Дата добавления: 2014-11-29