Алгебра подій

Теорія ймовірностей вивчає закономірності у явищах, які при багаторазовому відтворенні одного і того ж досліду можуть відбуватися кожний раз по іншому. Тобто теорія ймовірностей має справу з експериментами (дослідами), результати яких заздалегідь не визначені.

Простір елементарних подій

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Перестановки

Перестановками з n елементів називаються такі комбінації, які відрізняються між собою тільки порядком елементів, тобто перестановки - це розміщення з n елементів по n елементів.

Їх число обчислюється за формулою:

Р = n! (3)

Приклад. Скількома способами можуть розміститися 5 чоловік в черзі в касу?

Розв'язання. Очевидно, кількість способів розміщення 5-и чоловік в черзі в касу обчислюється за формулою: Р = 5! = 120.

Приклад. Скільки можна скласти перестановок з n елементів, в яких дані 2 елементи не розміщуються поруч?

Розв'язання. Визначимо число перестановок, в яких дані 2 елементи А і В містяться поруч. Mожливі наступні випадки:

1. А стоїть на першому місці,

2. А стоїть на другому місці, …

3. А стоїть на (n-1) місці, а В стоїть правіше А;

число таких випадків - (n-1). Крім того, А і В можна поміняти місцями, і, отже, число випадків, коли А і В поруч дорівнює 2(n-1). Кожному з цих способів відповідає (n-2)! перестановок інших елементів. Отже, число перестановок, в яких А і В містяться поруч, дорівнює 2(n-1)(n-2)!= 2(n-1)! Тому шукане число перестановок дорівнює n!-2(n-1)!.

Результат досліду (випробування) або спостереження називається подією. Події позначають великими буквами латинського алфавіту: . Для того, щоб подія відбулася, необхідне виконання певного комплексу умов, який будемо позначати буквою .

Події поділяють на вірогідні, неможливі, випадкові. Вірогідною називається подія, яка за заданих умов обов’язково станеться в даному досліді. Неможливою називається подія, яка при виконанні даних умов не може відбутися в даному досліді. Випадковою називається подія, яка при виконанні певних умов може відбутися, а може і не відбутися.

Дві події і називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному досліді. Інакше події називаються сумісними, тобто дві події А і В називаються сумісними, якщо внаслідок досліду можливе їх спільне здійснення. Події називаються несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Події і називаються рівноможливими, якщо при виконанні умов однакова вірогідність появи подій і . Події називаються рівно- можливими, якщо кожна з них має однакову можливість відбутися або не відбутися. Події називаються єдиноможливими, якщо поява тільки однієї з них є вірогідною подією. Отже, будемо казати, що події утворять повну групу, якщо вони єдиноможливі, тобто при даному випробуванні одна подія обов’язково відбудеться. Або, можна ще сказати, що повною групою називається сукупність подій, серед яких є хоча б одна вірогідна.

Множина всіх подій, що складається з несумісних, рівноможливих, єдиноможливих (що утворюють повну групу), називається множиною, або простором елементарних подій (ПЕП), який будемо позначати , а його елементи (точки), буквами . Бачимо, що сама множина є вірогідною подією, порожня множина - неможливою подією. Підмножини простору елементарних подій називаються також подіями (подія настає, якщо настає яка-небудь з елементарних подій ).

Приклад 1.

Гральний кубик підкидають один раз. Позначимо через Х число очок, що випали на верхній грані грального кубика. Необхідно: 1)описати множину елементарних подій ; 2) вказати склад підмножин, відповідних наступним подіям: А = { X кратне трьом }; В = { X непарне }; С = { X > 3}; D = { X < 7 }; Е = { X дробове }; F = { 0.5 < X < 1.5};

3) виявити пари спільних подій.

Розв'язання.

1) Простір елементарних подій складається з шести елементарних подій (число граней). Елементарна подія - число очок на верхній грані i (i=1,2,3,4,5,6): ПЕП:

2) Тоді:

3) Перевіряючи наявність загальних елементів, знаходимо пари спільних подій: А і В, А і С, А і D, В і С, В і D, В і F, С і D, D і F.

Приклад 2.

Експеримент складається в радіолокаційному виявленні повітряної цілі. Результат, що спостерігається - положення світлової плями (відображеного імпульсу від цілі) на екрані індикатора цілі, що має форму круга радіуса 10 см, в системі декартових координат з початком, співпадаючим з центром екрана. Необхідно: 1)описати ПЕП;

2) описати склад підмножин, відповідних наступним подіям:

А = {ціль знаходиться в першому квадраті};

В = {ціль знаходиться в колі радіуса 5 см, центр якого співпадає з центром екрана};

С = {ціль знаходиться в колі радіуса 2.5 см, центр якого відхилений на 5 см по осі Ох у від'ємному напрямі}.Чи сумісні пари подій: А і В, А і С, В і С?

Розв'язання.

1) Так як, елементарна подія в цьому експерименті – це положення світлової плями на екрані індикатора цілі, що має форму круга радіуса 10 см, в системі декартових координат з початком, співпадаючим з центром екрана, то елементарну подію зручно описати як координати випадкової точки на площині, відповідній центру плями. Тоді, зрозуміло,

2)

3) Події А і В, В і С - сумісні, а події А і С несумісні.

Дата добавления: 2014-11-29