Теореми додавання і множення ймовірностей

Теорема 1. Ймовірність суми несумісних подій рівна сумі їх ймовірностей, тобто

. (5)

Теорема 2. Якщо і - сумісні події, то

. (6)

Означення. Подія називається залежною від події ,якщо ймовірність появи події залежить від того, відбулась чи не відбулась подія . Ймовірність події при умові, що подія відбулася, будемо називати умовною ймовірністю події А при умові В і позначати .

Приклад. В урні знаходиться 3 білих і 5 чорних куль. З урни виймається одна куля, а потім друга. Знайти ймовірність 1) того, що за другим разом буде вийнята біла куля при умові, що в першому випадку була вийнята також біла куля; 2) - ймовірність того, що за другим разом буде вийнята біла куля, при умові, що в першому випадку була вийнята чорна.

Розв'язання.

1) Якщо в першому випадку була вийнята біла куля, то в урні залишилося 2 білих кулі і 5 чорних. Тому .

2) Якщо в першому випадку була вийнята чорна куля, то в урні залишилося 3 білих кулі і 4 чорних. Тому умовна ймовірність .

Теорема 3. Й мовірність виконання двох подій одночасно дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність другого, обчислену при умові, що перша подія відбулася, тобто

або (7)

Якщо події і незалежні, тобто ймовірність однієї події не залежить від того відбулась чи не відбулась інша подія, тобто , то для цього випадку попередня теорема запишеться так

, (8)

а для n незалежних подій

(9)

Приклад. Знайти ймовірність найбільшого виграшу в спортлото 5 з 36.

Розв'язання. Найбільший виграш буде в тому випадку, коли будуть угадані усі 5 номерів з 36. ймовірність угадати перший номер дорівнює 5/36, ймовірність угадати другий номер, при умові, що перший угаданий, дорівнює 4/35 і т.д. Тому за теоремою 3 отримуємо шукану ймовірність

.

Теорема 5. Й мовірність появи хоч б однієї з подій незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей подій, протилежних даним:

(9a)

Тут

Дата добавления: 2014-11-29