Екатеринбург

Издание четвертое, переработанное

Учебное пособие

В ПСИХОЛОГИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В.И. ЛУПАНДИН

ИМ. А. М. ГОРЬКОГО

Лупандин В.И. Математические методы в психологии: Учебное пособие. Издание 4-е, переработанное. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2009. – с.

Учебное пособие предназначено для студентов психологических факультетов университетов, а также для психологов-практиков, имеющих дело со сбором и статистической обработкой материала, его количественным анализом и конструированием различных математических моделей психических явлений, процессов, состояний.

Рецензенты:

ОТ АВТОРА

Любой современный психолог независимо от того, является ли он психологом-практиком или занимается теоретическими изысканиями, должен в совершенстве владеть математическими методами и приемами. Эти методы необходимы, во-первых, для адекватного планирования эксперимента и прогнозирования ожидаемых результатов, во-вторых, для статистической обработки результатов психологического исследования, наконец, в-третьих, для разработки и построения математических моделей, касающихся различных психических явлений, процессов и состояний.

Как известно, основным методом психологического исследования (если не брать во внимание чисто экспериментальные области психологии) традиционно является метод наблюдения. Несмотря на некоторые положительные стороны этого метода, наблюдение всегда является в значительной степени субъективным. Интерпретация полученных данных, как правило, несет на себе отпечаток личности психолога, его опыта, интуиции и т. д. В то же время во многих случаях возникает проблема стандартизации результатов исследования и их более или менее однозначной трактовки. В этом смысле математика представляет собой универсальный, предельно формализованный язык, однозначно описывающий различные свойства, признаки, изменения и пр., в том числе и результаты психологического исследования.

В свое время великий Ньютон вслед за Галилеем провозгласил, что «природа говорит с человеком на языке математики». Более развернуто эту мысль в начале XIX века выразил немецкий философ и психолог Гербарт, который писал так: «Всякая теория, которая желает быть согласованной с опытом, прежде всего должна быть продолжена до тех пор, пока не примет количественных определений, которые являются в опыте или лежат в его основании. Не достигнув этого пункта, она висит в воздухе, подвергаясь всякому ветру сомнения и будучи не способной вступить в связь с другими, уже окрепшими воззрениями».

Предлагаемое учебное пособие ставит своей задачей помочь психологу овладеть начальными знаниями, необходимыми для применения математических методов в психологии. При этом автор попытался свести к минимуму освещение теоретических вопросов, которые подробно излагаются в соответствующих учебниках по теории вероятностей и математической статистике. Основная же задача пособия – дать психологу рабочий инструмент для решения конкретных научно-исследовательских и прикладных задач. Несмотря на то, что книга написана, как надеется автор, достаточно простым языком, знакомство с ней подразумевает определенный уровень знаний в области теории вероятностей и математической статистики.

Большинство глав учебного пособия сопровождаются перечнем задач по рассматриваемой теме. Автор выражает искреннюю благодарность своему глубокоуважаемому коллеге Алексею Васильевичу Зайцеву за помощь в разработке ряда задач. В конце книги приводится минимум справочных статистических таблиц, необходимых для математической интерпретации и адекватных выводов по каждой из рассматриваемых задач.

Автор будет весьма признателен за критические замечания, советы и пожелания, которые, несомненно, помогут в дальнейшей работе над книгой в плане ее совершенствования.

Раздел 1

пРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЯ В ПСИХОЛОГИИ

Начальным этапом математической обработки результатов любого (в том числе и психологического) исследования, является измерение. Другими словами, изучаемый признак (свойство, черта, характеристика) должен быть измерен, т. е. выражен в той или иной количественной (численной) форме. Численное выражение признака может быть различным – от представления его в бинарной системе (1 – наличие признака, 0 – отсутствие признака) до весьма точных количественных значений (например, максимальная амплитуда альфа-ритма электроэнцефалограммы для данного испытуемого составляет 95 микровольт).

Одной из достаточно сложных в психологии является задача математической формализации выраженности исследуемого признака, т. е. перевода ее в количественное выражение. Об этом пойдет речь далее в соответствующих главах. В данной же главе мы попытаемся дать общие сведения об измерении вообще и об особенностях измерения психологических свойств (признаков, черт, характеристик) в частности.

1. 1. Понятие об измерении

Существует целый ряд определений термина измерение. Так, измерение иногда трактуют как познавательный процесс, включающий исследование количественных характеристик материальных объектов с помощью соответствующих измерительных приборов. Такая формулировка вполне подходит для физического измерения, но не всегда годится для измерения психологических величин. Чаще всего процедуры психологического измерения подразумевают наличие не измерительных приборов, а совокупности заданий, вопросов, утверждений и т. д. Тем не менее, в некоторых областях психологической науки (психофизика, психофизиология и др.) предусматривается использование и приборных (аппаратурных) методов измерения.

Другое определение термина: измерение есть присваивание чисел определенным объектам, свойствам, признакам, событиям или изменениям в соответствии с определенными правилами. Это определение больше подходит к измерению в психологии, хотя справедливости ради необходимо отметить, что не все психологические величины можно выразить числом – некоторые из них выражаются качественными определениями, названиями, символами и пр.

Наконец, измерение можно определить как построение шкал посредством изоморфного отражения эмпирической системы с отношениями в численной системе с отношениями. Другими словами, это определение фактически ставит знак равенства между измерением и шкалированием. В первом приближении это так, хотя в некоторых случаях понятие шкалирование шире понятия измерение и включает в себя упорядочение не только численных (количественных), но и качественных характеристик.

Любой вид измерения предполагает наличие вполне определенных единиц измерения. Единица измерения – это та «измерительная палочка» (по выражению С. Стивенса), которая является своеобразным эталоном для осуществления тех или иных измерительных операций. В физике и других естественнонаучных дисциплинах используют основные и производные единицы измерения. Основных единиц измерения относительно немного: в Международной системе единиц (СИ) это килограмм (кг) – единица массы, метр (м) – единица расстояния, секунда (с) – единица времени, градус Кельвина (°К) – единица температуры, ампер (А) – единица силы тока, кандела (кд) – единица силы света и моль – единица количества вещества. Все остальные единицы (скорость, плотность, освещенность, давление и др.) являются производными и выводятся из основных единиц измерения.

Кроме общепринятых (международных) единиц измерения, иногда применяются и традиционные (национальные) единицы (фунты, унции, дюймы, ярды, футы и пр.), использование которых в научных исследованиях весьма ограниченно.

Наряду с десятичной системой счисления, которая является наиболее распространенной, некоторые единицы вычисляются в шестидесятиричной системе, ведущей свое начало из Ассирии и Вавилона. В этой системе вычисляются интервалы времени (часы, минуты), а также угловые меры (угловые градусы, минуты и секунды). Несмотря на некоторые неудобства, возникающие при переводе единиц измерения из шестидесятиричной системы в десятичную, вавилонско-ассирийская система настолько прочно вошла в наше сознание, что менять ее на сегодняшний день, по-видимому, не имеет смысла.

Физические единицы измерения используются в психологических исследованиях далеко не всегда. В ряде случаев, например, в психофизике, представляется разумным, чтобы субъект оценивал какие-либо величины или находил степень различия между ними в общепринятых единицах (например, промежутки времени в минутах и секундах, длину линий – в сантиметрах, расстояние до объекта – в метрах и т. д.). Общепринятые единицы измерения используются и в психофизиологии. Так, время сенсомоторных реакций и время опознания образов принято измерять в секундах или миллисекундах, амплитуду вызванных потенциалов – в микровольтах, частоту ритмов электроэнцефалограммы выражают числом колебаний в секунду и т. д. Тем не менее, чаще всего психологи в своих измерениях пользуются условными единицами («сырыми» баллами, стенами и т. д.). Так, при использовании большинства тестов-опросников в качестве единицы измерения выступают ответы «да» или «нет». Исследуемое же свойство вычисляется на основе соотношения этих ответов (их суммы, разности и т. п.). При выполнении «интеллектуальных» тестов в качестве единицы измерения выступает решение каждой отдельной задачи (выполнение отдельного задания), а исследуемый признак (коэффициент интеллекта и пр.) определяется по числу выполненных заданий.

1. 2. Особенности измерения в психологии

Впервые в более или менее современном виде мысль о принципиальной возможности измерения психических явлений, процессов и состояний высказал известный немецкий философ Густав Теодор Фехнер (1801–1887). В своем фундаментальном труде «Элементы психофизики» он писал так: «...трудно возразить против того, что духовное вообще подчинено количественным отношениям. Ведь можно говорить не только о большей или меньшей силе ощущения, но и о разной силе влечений, о том, что существует большая или меньшая степень внимания, живости воспоминаний или образов фантазии, ясности сознания в целом, а также интенсивности отдельных мыслей... Таким образом, высшее духовное не в меньшей степени, чем чувственное... может быть охарактеризовано количественно» (Fechner, 1966).

Несмотря на длительную полемику по поводу возможности количественного описания психических явлений, процессов и состояний, которая развернулась после выхода в свет книги Фехнера, на сегодняшний день трудно представить психологическую науку без измерения. Психофизика, психофизиология, психометрика, психодиагностика – вот далеко не полный перечень психологических дисциплин, в которых измерение является необходимейшим инструментом.

Иногда говорят, что измерение психических величин, зачастую основанное на субъективных отчетах испытуемых, не внушает доверия только потому, что оно субъективно. Не вдаваясь в философскую сторону проблемы, можно сказать, что психологические измерения так же надежны и валидны, как и измерения физические, но обладают своими особенностями. Основные свойства психологического измерения – это его многофакторность и вариативность.

Многофакторность измерения в психологии состоит в том, что на психологические величины оказывает влияние множество различных факторов, одни из которых (релевантные) непосредственно связаны с измеряемым признаком, другие (иррелевантные) не связаны с ним или связаны косвенно. Влияние всех иррелевантных факторов учесть невозможно. Однако чем большее их число будет учтено, тем более действенна данная методика, более валидна та или иная математическая модель, более точен тот или иной психологический прогноз.

Существует наиболее оптимальный, на наш взгляд, способ преодоления трудностей, связанных с многофакторностью психологических измерений. Так, если на измеряемый психологический признак оказывает действие большое число разнообразных факторов, то априорно принимается точка зрения, что все эти многообразные и разнонаправленные факторы в конечном счете уравновешивают друг друга, и исследуемый признак варьирует случайным образом. Известно, что на принципе случайности основана целая область математической науки – теория вероятностей. Поэтому неудивительно, что многие из математических методов, используемых в психологии, основаны именно на вероятностной теории. Кроме того, существуют специальные методы и приемы, позволяющие определить, изменяется ли исследуемый признак случайным образом или неслучайно. Если психологическое свойство (признак) – случайная величина, то к нему применимы основные статистические критерии; если признак изменяется неслучайно, следует выявить и по возможности устранить (или минимизировать) тот фактор, который вносит систематическую ошибку. Если же это не представляется возможным, следует использовать так называемые непараметрические методы статистической обработки полученных результатов.

Вариабельность (вариативность) психологических измерений состоит в том, что психологические величины (признаки, переменные) зачастую принимают значения, весьма отличающиеся друг от друга. Поэтому, наряду с мерами центральной тенденции (мода, медиана, среднее значение), в психологии всегда приходится учитывать и вариабельность (изменчивость) измеряемого признака. Доказано, что вариабельность переменных сама по себе является весьма информативным показателем. Разработано большое количество статистических методов, основанных именно на анализе вариабельности – дисперсионный, корреляционный, факторный анализ и др. Другими словами, вариабельность психологических признаков из противника превратилась в союзника, и на ее основе представилось возможным решать достаточно сложные статистические задачи.

В различных областях и разделах психологии измерение имеет свою специфику. Так, психофизические измерения предусматривают, как правило, использование двух шкал: первая – это шкала физических единиц (сила света, звука, пространственные, временные параметры сигнала и т. д.), вторая – субъективная (шкала суждений, оценок и пр.), которая может быть выражена в терминах номинальной, порядковой, интервальной шкалы или шкалы отношений (см. подраздел 1.3). В случаях неметрического шкалирования исследователь, как правило, оперирует только субъективными шкалами.

Двойственная метрика предполагается и в психофизиологических исследованиях. Физиологические процессы в организме человека измеряются специальными приборами и выражаются в общепринятых физических единицах – секундах, герцах, микро- и милливольтах и т. д. В то же время психические процессы, сопутствующие физиологическим изменениям в организме, измеряются в терминах субъективного самоотчета испытуемых.

Особое место занимают измерения в психодиагностике, поскольку они включают в себя, с одной стороны, систему субъективных отчетов или невербальных операций субъекта, с другой – систему условных приемов и методов оценки психологических показателей.

В заключение следует еще раз подчеркнуть, что, несмотря на вариативность и многофакторность психологических величин, измерение в психологии является неотъемлемым этапом исследования, позволяющим с определенной степенью точности и надежности описывать разнообразные психические явления, процессы и состояния.

1. 3. Шкалы измерений

Шкала в широком понимании этого слова представляет собой упорядоченную совокупность данных. Другими словами, если в психологическом эксперименте (наблюдении, опросе и т. д.) мы получаем какие-либо результаты (данные) и определенным образом упорядочиваем их, то мы конструируем шкалу.

В самом общем смысле различают четыре типа шкал измерений: номинальную, порядковую, интервальную и шкалу отношений.

Номинальная (номинативная) шкала, или шкала наименований состоит в присваивании какому-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа (численного, буквенного и др.). По сути, это – классификация свойств, группирование объектов, объединение их в классы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны (аналогичны) или, по меньшей мере, сходны друг с другом в отношении какого-либо признака или свойства, тогда как объекты, различающиеся по этому признаку, попадают в разные классы.

Примеры:

1) классификация вкусовых качеств:

А – сладкое, В – горькое, С – кислое, D – соленое;

2) цвета видимого спектра: А – красный, В – зеленый, С – синий и пр.;

3) распределение людей по типам темперамента:

А – холерики, В – сангвиники, С – флегматики, D – меланхолики.

Независимо от характера обозначения групп, классов (буквенные или численные), номинальная шкала определяет, что разные классы отличаются друг от друга лишь в качественном отношении, но не подразумевает каких-либо количественных операций с ними. Так, исходя из приведенных выше примеров, нельзя сказать, что A > B или B < C, можно лишь утверждать, что A нетождественно B, B отличается от C и т. д.

Номинальная шкала допускает любые замены и перестановки буквенных (численных) обозначений.

Частным случаем номинальной шкалыявляется дихотомическая шкала наименований, когда свойство или признак может принимать только два значения, например:

А (1): мужчина верующий успевающий демократ

В (0): женщина атеист неуспевающий коммунист

Допустимая статистика: число случаев, мода, корреляция случайных событий, коэффициент j и др.

Ординарная (порядковая, ранговая) шкала предполагает ранжирование определенного признака или свойства так, что А > B > C >... (или наоборот). Порядковое измерение возможно тогда, когда в объектах можно обнаружить различия в степени выраженности признака или свойства. Шкала порядка не предусматривает меры (степени) различий между элементами ряда. Другими словами, мы можем констатировать, что объект (признак, свойство) А имеет преимущество над В, С над D и т. д., но не можем сказать, в каком случае это преимущество выражено в большей или меньшей степени. Ранговая шкала задает лишь порядок следования объектов в соответствии со степенью выраженности того или иного признака.

Примеры:

1) места, занятые студентами (школьниками) в соревновании (олимпиаде и пр.);

2) ранг (место) студента по среднему баллу успеваемости;

3) в психодиагностике (например, тест Спилбергера):

утверждение: Я спокоен, собран, хладнокровен

оценка: 1 (никогда) 2 (иногда) 3 (часто) 4 (всегда).

Допустимая операция – реверсия шкалы. В случае количественных обозначений не допускается никаких перестановок внутри ранжированного ряда. Допустимая статистика: медиана, проценты, ранговая корреляция по Спирмену, Кендаллу и т. д.

Интервальная шкала (шкала интервалов) предполагает разбиение диапазона (расстояния) между двумя крайними (реперными) точками на определенное число равных интервалов (градаций, категорий).

Примеры:

а) температурная шкала Цельсия;

б) шкала уровня субъективного контроля по Роттеру:

- 3 - 2 - 1 0 +1 +2 +3

Абсолютно Не знаю Совершенно

не согласен (не уверен) согласен

На интервальной шкале нет естественной точки отсчета: нуль условен, он не указывает на отсутствие измеряемого свойства. Шкала допускает операции нахождения разности, суммы и среднего значения и не изменяется при преобразовании x ® x + a (сложение или вычитание). Эти свойства шкалы позволяют количественно сравнивать между собой различия между парами признаков, например: А – В > C – D. Тем не менее, шкала не допускает нахождение отношений величин признака (т. е. во сколько раз одна величина больше или меньше другой). Это можно проиллюстрировать следующим примером. Допустим, вчера температура воздуха была +5, а сегодня +10 градусов по шкале Цельсия. Мы можем констатировать, что сегодня на 5 градусов теплее, чем вчера, но вряд ли можем сказать, что сегодня потеплело в два раза (если выразить те же температуры, например, в градусах Фаренгейта, то мы получим, соответственно, +41 и +50 градусов).

Необходимо отметить, что подавляющее большинство шкал, рассматриваемых в психодиагностике, являются порядковыми или интервальными шкалами.

Шкала отношений предполагает наличие естественного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шкала отношений является наиболее информативной шкалой, допускает любые математические операции и использование различных статистических приемов. Шкала не изменяется при преобразовании x ® bx. Это означает, в частности, что отношение двух величин не зависит от выбора единиц измерения. Если, например, мы имеем два груза с массой соответственно m₁ и m₂ и обнаруживаем, что m₁ : m₂ = 1: 2, то отношение не изменится, если измерить массу этих грузов в граммах, фунтах, унциях или любых других единицах. В то же время для шкал отношений неправомерна операция x ® x + a, т. е. не допускается никакого линейного сдвига относительно нулевой точки. Так, если 100: 200 = 1: 2, то (100 + 10): (200 + 10) ¹ 1: 2.

Большинство измерительных шкал физических характеристик (пространство, время, масса, объем, скорость и пр.), используемых, в частности, в психофизике, являются шкалами отношений. Шкалы отношений используются также и в психофизиологии, где отсчет различных физиологических характеристик также ведется от естественного нуля.

Оперирование различными математическими методами предполагает изначальное определение типа шкалы исследуемого признака. Если тип шкалы определен неверно, то исследователь может выбрать неадекватный метод статистической обработки и прийти в результате к неверным выводам. Более подробно об этом будет сказано в соответствующих разделах.

____________________________________________________________________________

Раздел 2

ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

2. 1. Генеральная и выборочная совокупности

Генеральная совокупность представляет собой массив данных одной категории. Так, если мы ставим перед собой задачу исследовать коэффициент интеллекта (IQ) школьников выпускных классов школ г. Екатеринбурга, то генеральной совокупностью будут являться все школьники всех выпускных классов всех школ города. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования. Обычно генеральная совокупность включает в себя очень большое число субъектов (испытуемых) – студентов вузов, школьников, работников промышленных предприятий, военнослужащих, пенсионеров и др. Сплошное исследование генеральных совокупностей чрезвычайно затруднительно, а зачастую и невозможно – для этого понадобилась бы целая армия психологов. Поэтому, как правило, изучается часть генеральной совокупности, называемая выборочной совокупностью, или выборкой.

Выборка (выборочная совокупность) – это такая группа объектов, которая должна удовлетворять следующим условиям:

1. Это группа объектов, доступная для изучения. Объем выборки определяется задачами и возможностями наблюдения и эксперимента.

2. Это часть заранее намеченной генеральной совокупности.

3. Это группа, отобранная случайным образом так, чтобы любой объект генеральной совокупности имел одинаковую вероятность попасть в выборку.

Основное свойство выборочной совокупности – репрезентатив­ность. Репрезентативность – это способность выборки характеризовать соответствующую генеральную совокупность с определенной точностью и достаточной надежностью.

Ошибки репрезентативности могут возникать в двух случаях:

1. Если выборка, характеризующая генеральную совокупность, мала. Так, если мы провели исследования на группе, состоящей из 10 школьников 11-го класса какой-либо школы города (см. предыдущий пример), то вряд ли мы имеем право экстраполировать полученные нами данные на всю генеральную совокупность.

2. Свойства (параметры) выборки не совпадают с параметрами ге­неральной совокупности. Такое явление может наблюдаться в тех случаях, когда нарушается принцип случайности при отборе испытуемых.

2. 2. Переменная величина

Переменная величина (или просто переменная) – количественно измеряемое свойство или признак, принимающие различные значения. В качестве переменных могут выступать различные психические признаки – время решения задачи, количество допущенных ошибок, уровень тревожности или нейротизма, коэффициент интеллекта и многое другое. Значения переменных могут изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Так, в большинстве психофизиологических исследований измеряемые величины, в принципе, непрерывны, и точность их измерения зависит от точности измерительного устройства (прибора). Дискретные значения переменных встречаются в большинстве психодиагностических процедур, где измеряемый параметр чаще всего принимает целочисленные значения – количество положительных и отрицательных ответов, число правильно решенных задач (выполненных заданий) и т. д.

Принято считать, что психологические переменные являются случайными величинами, так как они испытывают на себе влияние многочисленных и разнообразных факторов (см. подраздел 1.2) и невозможно предсказать заранее, какое значение они примут.

Математическая обработка – это оперирование со значениями признака (переменной), полученными у испытуемых в процессе психологического исследования. Методы математической обработки весьма разнообразны. Это может быть построение распределения частот измеряемого признака, вычисление мер центральной тенденции, мер изменчивости (вариабельности) признака, определение характера связи между разными переменными, установление формы зависимости одного признака от другого, влияние тех или иных факторов на величину признака и многое другое.

Поскольку большинство изучаемых в психологии переменных не являются жестко детерминированными величинами, то большинство математических методов основано на постулатах теории вероятностей. Это касается и выводов, которые делает исследователь в результате математической обработки полученных данных. Любой вывод или прогноз может быть сделан лишь с определенной вероятностью (Р = 0 ÷ 1). Для характеристики этой вероятности используется понятие уровней значимости.

Дата добавления: 2014-11-29