Обратное z-преобразование

Теорема о начальном и конечном значении оригинала.

(2.4.10), (2.4.11)

5) теорема свёртки.

, (2.4.12)

где (2.4.13)

Обратное z -преобразование позволяет найти оригинал y[nT₀] по его z -отображению Y (z). Это преобразование обозначается так:

. (2.4.14)

Существует несколько методов обратного z-преобразования:

а) метод неопределённых коэффициентов.

Пусть F(z) найдено в виде

(2.4.15)

Пусть знаменатель имеет l простых корней: z₁,z₂,…,z_l, тогда его можно представить в виде

т.е. выражение (5) можно представить в виде:

, (2.4.16)

где N₁,N₂,…,N_l — неопределённые коэффициенты. Приравняв (15) и (16), предварительно (16) приведя к общему знаменателю, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях z в числителях, получим систему алгебраических уравнений, из которых можно определить N₁,N₂,…,N_l. В результате сложная функция (15) заменена на сумму элементарных функций (16).

б). с использованием ряда Лорана.

Решение алгебраического уравнения, полученного с помощью z -преобразования, можно представить в виде

(2.4.17)

Будем отыскивать разложение этого выражения в виде ряда Лорана:

(2.4.18,19)

где С₀,С₁,…, — неизвестные коэффициенты;

Для нахождения С₀,С₁,…, приравняем выражения (17) и (18), приведём полученное равенство к общему знаменателю и в числителях правых и левых частей приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z. В результате получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов С_i. Сравнивая выражение (2) с выражением z -преобразования

(2.4.20)

получим c_i=y[i] или c₀=y[0], c₁=y[Т₀], c₂=y[2Т₀], ….с_i, являются значениями искомой функции в различные моменты времени.

Дата добавления: 2014-12-07