Для эпюры изгибающих моментов

1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена на встречу нагрузке.

2. На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3. В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары.

4. Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении при­ложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в этом сечении равен моменту приложенной пары.

5. На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.

6. Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знак с «+» на «—» или с «—» на «+».

В рассматриваемой задаче требуется - построить эпюры поперечных сил и изги­бающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки, выполнен­ной из прокатного профиля — двутавра.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричным относительно нейтральной оси, имеет вид

- осевой момент сопротивления

сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента сопротивления:

По найденному моменту сопротивления Wx подбирают соответствующее сечение по сортаменту (см. приложение 1).

Для закрепленной одним концом балки расчет целесообразно вести со свободно­го конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке).

Последовательность решения задачи:

1. Балку разделить на участки по характерным точкам.

2. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

3. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов. Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определить моменты в сечениях, где эпюра поперечных сил проходит через нуль (в примере 10—сечение К).

4. Для подбора сечения из условия прочности определить Wx в опасном сечении, т.е. в сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.

Пример 10. Для заданной консольной балки (поперечное сечение — двутавр, [σ] = 160 МПа) построить эпюры Q_y и Мх и подобрать сечение по сортаменту.

1. Делим балку на участки по характерным точкам О, В, С, D (рис. 17, а).

2. Определяем ординаты и строим эпюру Q_y (рис. 17, б):

3. Определяем ординаты и строим эпюру М_х (рис. 17, в)

В соответствии с ГОСТ 8239 - 72 выбираем двутавр № 30. (См. приложение 1.)

Для определения экстремального значения момента в сечении К, где Q_y=0, определяем длину КВ.

∆CC₁K подобен ∆KBB₁ (рис. 17, б), отсюда:

CC₁ = CB-KB; CC₁·KB=B₁B·CB-BB₁·KB;

Задачи 91—100. Для стальной балки, жестко защемленной одним концом и нагруженной, как показано на рис. 23 (схемы 1—10), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать из условия прочности необходимый размер двутавра, приняв [σ] = 160 МПа. Данные своего варианта взять из табл. 8.

Пятая задача (задачи 101-110). Для того, чтобы решить пятую задачу, необходимо внимательно изучить тему «Изгиб», методические указания к задаче 4, а также приведенный далее пример.

Последовательность решения задачи та же, что и четвертой. Отличие лишь в том, что пятую задачу начинают решать с определения реакций опор балки и проверки правильности найденных реакций.

Пример 11. Для заданной двухопорной балки (рис. 18, а) опреде­лить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих момен­тов и определить размеры поперечного сечения (h, b, d) в форме - прямо­угольника или круга, приняв для прямоугольника h/b=1,5. Считая [σ]=160 МПа.

1. Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

Так как реакция R_D получилась со знаком минус, то изменяем ее первона­чальное направление на противоположное. Истинное направление реак­ции R_D — вниз (рис. 18, б).

Проверка: ΣY= - F₁+ R_B+ F₂ – R_D = - 18+10+30 - 22=0. Условие статики ΣY выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакции опор.

2. Делим балку на участки по характерным точкам О, В, С, D (рис. 18,6).

3. Определяем ординаты и строим эпюру Q_y (рис. 18,в) слева направо:

4. Вычисляем ординаты и строим эпюру Мх (рис. 18, г):

5. Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по двум вариантам:

а) сечение — прямоугольник с заданным соотношением сторон (рис. 18, е);

б) сечение — круг (рис. 18, д). Вычисление размеров прямоугольного сечения:

Задачи 101-110. Для заданной двухопорной балки (рис.24, схемы 1—10) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать из условия прочности размеры попе­речного сечения прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h=2b. Считать [σ] = 150 МПа, данные своего варианта взять из табл. 9.

Шестая Задача (задачи 110—120). Для решения данной задачи не­обходимо усвоить тему «Гипотезы прочности и их применение», так как в задачах 110—120 рассматривается совместное действие изгиба и кручения и расчет произво­дится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

где М_экв — так называемый эквивалентный момент.

По гипотезе наибольших касательных напряжений (иначе третья гипотеза):

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (иначе - пятая гипотеза):

В обеих формулах М_к — наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала; М_и — наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т. е.

Последовательность решения задачи:

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

2. По заданной мощности Р и угловой скорости ω определить вращающие моменты, действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2 и Fr1, приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры М_х и M_Y).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

1. Положив σ_экв =[σ], определить требуемый осевой момент сопротивления: WX=М_экв/[σ].

Учитывая, что для сплошного круглого сечения

определяем d по следующей формуле:

Пример 12. для стального вала постоянного поперечного сечения двумя зубчатыми колесами (рис. 19, а), передающего мощность Р=15 кВт при угловой скорости ω==ЗО рад/с, определить диаметр вала по двум ва­риантам:

а) используя III гипотезу прочности;

б) используя V гипотезу прочности. Принять: [σ]=160 МПа; F_r1=0,4F₁; F_r2=0,4 F₂.

1. Составляем расчетную схему вала, приводя действующие на вал нагрузки к оси (рис. 19, б). При равномерном вращении вала M₁=M₂, где M₁ и М₂ — скручивающие пары, которые добавляются при переносе сил F₁ и F₂ на ось вала.

2. Определяем вращающий момент, действующий на вал:

3. Вычислим нагрузки, приложенные к валу:

4. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOZ (рис. 19, б).

ΣY=0, следовательно, RA_y и RB_y найдены правильно. Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости xOz (рис. 19, б):

Минус указывает на то, что истинное направление реакции R_BX противоположно выбранному (см. рис. 19, б):

ΣY=0, следовательно, R_Ax и R_Bx найдены верно.

5. Строим эпюру крутящих моментов M_z (рис. 19, в).

6. Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов M_z в вертикальной плоскости и эпюры M_y в горизонтальной плоскости (рис. 19 г, д):

7. Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по за­данным вариантам. Так как в данном примере значение суммарного изги­бающего момента в сечении С больше, чем в сечении D:

то сечение С и является опасным. Определяем эквивалентный момент в сечении С.

Вариант а:

Вариант б:

8. Определяем требуемые размеры вала по вариантам а и б.

По варианту а:

Принимаем с1в=34 мм.

Задачи 111—120. Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами (рис. 25), передающего мощность Р, кВт, при угловой скорости ω, рад/с (числовые значения этих величин для своего варианта взять из табл. 10):

1) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников;

2) построить эпюру крутящих моментов;

3) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальных плоскостях;

4) определить диаметр вала, приняв [σ]=60 МПа (в задачах 111, 113, 115, 117, 119) или [а]=70 МПа (в задачах 112, 114, 116, 118, 120) и полагая F_r1=0,4 F₁; F_r2=0,4 F₂. В задачах 111—115 расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения, а в задачах 116—120 — по гипотезе наибольших касательных напряже­ний. Все размеры на рис. 25 (схемы 1—10) даны в миллиметрах.

Дата добавления: 2014-12-07