Сложение и умножение операторов

1. Операторы можно складывать и умножать. Оператором суммы двух операторов и называется такой оператор , действие которого на функцию , равно сумме результатов действия на нее операторов и

.

Если операторы и имеют собственные функции и собственные значения, удовлетворяющие уравнениям

, , (7)

причем операторы и действуют только на свои собственные функции, т.е

и , (8)

тогда оператор

(9)

имеет собственные значения, равные сумме собственных значений операторов и

, (10)

и собственные функции, равные произведению собственных функций операторов и

, (11)

удовлетворяющие уравнению

. (12)

Для доказательства этого утверждения подставим (11) в (12) и учтем (8) и (10)

.

Таким образом, функции (11) являются собственными функциями уравнения (12) по определению (1), а собственные значения оператора равны сумме собственных значений операторов и .

Не все операторы коммутируют. Так, например, операторы и не коммутируют, так как

,

,

поэтому

. (13)

Если операторы и не коммутируют, то точных значений величин A и B одновременно не существует. Поэтому операторное равенство (18) неразрывно связано с соотношением неопределенности для координаты и соответствующей проекции импульса.

Дата добавления: 2014-11-29