Временное уравнение Шредингера

1. Плоская волна де Бройля

соответствует равномерному свободному движению частицы в определенном направлении с определенным импульсом . Но движения могут быть самыми разнообразными, особенно при наличии силовых полей. Основная задача квантовой механики заключается в отыскании всевозможных волновых функций связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для этого необходимо отыскать соответствующее волновое уравнение. Оно было записано Шредингером в 1926 году для нерелятивистского случая, то есть в случае движений медленных по сравнению со скоростью света.

Уравнение Шредингера должно быть общим для всех движений. Поэтому уравнение не должно содержать параметров, выделяющих конкретное движение. В силу принципа суперпозиции оно должно быть линейным и однородным. Как и любое волновое уравнение, оно должно содержать частные производные по координатам и времени.

Поскольку волновая функция, описывающая состояние микрочастицы в момент t + dt определяется волновой функцией в момент t и ее первой производной

,

то для определения волновой функции в произвольный момент времени мы должны находить с помощью волнового уравнения. Поэтому волновое уравнение должно содержать только частную производную первого порядка по времени. Следует заметить, что вывести уравнение Шредингера невозможно (здесь ситуация такая же как с законами механики и электродинамики). Основные законы логически вывести нельзя. Доказательством их справедливости служит справедливость всей совокупности следствий из них вытекающих, которые допускают экспериментальную проверку.

Поэтому мы идем не логическим, а эвристическим путем (методом догадок). Поскольку плоские волны де Бройля должны быть одним из возможных решений волнового уравнения, то попробуем построить волновое уравнение сначала для свободных частиц.

2. Дифференцируя уравнение плоской волны по координате Х, запишем

.

Такие же соотношения можно записать для координат Y и Z. Сложив все три вторые производные, найдем

. (1)

Это дифференциальное уравнение содержит импульс - характеристику конкретного движения и, кроме того, не содержит .

Дифференцируя уравнение плоской волны по времени, также найдем

(2)

которое описывает также конкретный вид движения - движение в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией

.

Учитывая это выражение, мы можем из (1) и (2) сконструировать уравнение

.

Это уравнение является линейным, однородным, дифференциальным уравнением второго порядка по координатам и первого порядка по времени. Оно не содержит никаких параметров конкретного движения.

Оно и является искомым уравнением Шредингерав отсутствие силовых полей.

3. Само по себе уравнение (24) не несет новой информации, так как для свободной микрочастицы известны волновые функции и значение энергии для любого состояния. Интерес представляет уравнение для микрочастицы, движущейся в силовом поле с потенциальной энергией . Классическое выражение для энергии частицы в силовом поле состоит из слагаемых кинетической и потенциальной энергий

.

Если физические величины, входящие в это выражение, заменить соответствующими операторами и подействовать на волновую функцию микрочастицы в силовом поле, то можно записать уравнение

. (3)

Это уравнение называется уравнением Шредингера для нестационарных состояний. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Вывести это уравнение строго логическим путем невозможно. Его справедливость доказывается совпадением следствий, из него вытекающих, с экспериментом. Поэтому мы принимаем его как закон природы, описывающий поведение микрочастиц при медленных движениях.

Уравнение Шредингера является линейным, поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции.

3. Потенциальная энергия , входящая в уравнение Шредингера, учитывает воздействие на микрочастицу силовых полей. Это воздействие учитывается локально (в каждой точке, определяемой радиус-вектором ). Она имеет свое значение в каждой точке пространства и отражает распределение поля в пространстве. Эта потенциальная энергия не учитывает запаздывания воздействия силового поля на микрочастицу, т.е. предполагается, что воздействие мгновенно передается от силового центра к микрочастице, что справедливо только для медленных движений, когда за время распространения сигнала смещение частицы будет незначительным.

Функция координат, импульсов и времени, равная сумме кинетической энергии частицы Т и энергии взаимодействия частицы с внешними силовыми полями U, в классической механике называется функцией Гамильтона

.

В общем случае энергия взаимодействия зависит не только от координат, но и от времени. Если явной зависимости от времени у этой энергии нет, то она совпадает с потенциальной энергией.

В правой части уравнения (25) записан оператор, соответствующий функции Гамильтона, который называют оператором Гамильтона или гамильтонианом

.

С помощью гамильтониана уравнение Шредингера записывается в компактном виде

. (26)

Дата добавления: 2014-11-29