Функции двух переменных

6.1. Функции нескольких переменных.

Определение функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня функции двух переменных. Предел функции. Непрерывность. Дифференцируемость функций двух переменных. Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных в точке.

6.2. Полный дифференциал.

Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

6.3. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных. Дифференцирование сложных и неявных функций.

6.4. Экстремумы функций двух переменных.

Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Отыскание наименьших и наибольших значений функции. Условные экстремумы функций двух переменных.

6.5. Методом наименьших квадратов.

Эмпирические формулы. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.

Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые точки. Основные классы дифференциальных уравнений 1 – го порядка, интегрируемых в квадратурах.

7.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Постановка задачи Коши для уравнения n – го порядка, теорема существования и единственности ее решения. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.

7.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

2 – го порядка.

Фундаментальная система решений, определитель Вронского и его свойства. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение и построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

2 – го порядка

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариаций произвольных постоянных. Уравнение с правой частью специального вида. Метод подбора решения. Наложение решений. Приложения дифференциальных уравнений.

Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.

8.1. Числовые ряды.

Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд и геометрическая прогрессия. Свойства сходящихся рядов. Знакоположительные числовые ряды. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, интегральный и радикальный признаки Коши. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница.

8.2. Функциональные ряды.

Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Раздел 9. Двойной и криволинейный интегралы.

9.1Определение и геометрический смысл двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла путем сведения к определенному интегралу

9.2Вычисление двойного интеграла.

9.3 Механическое приложение двойного интеграла

9.4Определение криволинейного интеграла и его физический смысл.

Тройной интеграл.

9.5Формула Грина.

9.6Необходимое и достаточное условие независимости

криволинейного интеграла от контура интегрирования.

Вычисление криволинейного интеграла

Раздел 10. Комплексные числа

10.1 Мнимое число. Комплексное число в алгебраической форме. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Мнимое число. Комплексное число в алгебраической форме. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

10.2 Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

10.3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме. Формула Муавра. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме. Формула Муавра.

10.4 Показательная форма комплексного числа и действие над комплексными числами в показательной форме. Показательная форма комплексного числа и действие над комплексными числами в показательной форме.

10.5 Решение алгебраических уравнений в области комплексных чисел

Раздел 11. Ряд Фурье.

1. Ряд Фурье. Основные понятия и определение.

2. Коэффициенты ряда Фурье с периодом два пи.

Разложение в ряд Фурье функции с периодом два пи

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

4.Ряд Фурье для функций с периодом два l.

5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье

Раздел 12. Теория вероятностей

9.1. Определения вероятности.

Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот. Статистическое, классическое и геометрическое определение вероятности. Условная вероятность. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Комбинаторика.

9.2. Основные теоремы теории вероятностей.

Теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий. Полная группа событий. Вероятность противоположного события. Вероятность появления хотя бы одного события. Формулы полной вероятности, Байеса. Примеры.

9.3. Повторение испытаний.

Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона. Примеры.

9.4. Дискретные случайные величины.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения и ее свойства). Законы биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Теоретические моменты.

9.5. Непрерывные случайные величины.

Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения непрерывных случайных величин, правило «трех сигм». Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

9.6. Закон больших чисел.

Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Дата добавления: 2014-12-27