Игры двух лиц с нулевой суммой

Теория игр изучает математические модели принятия решений в условиях конфликта. Практические ситуации, в которых присутствуют игровые аспекты весьма разнообразны и их изучение оказывает большую помощь в народнохозяйственной деятельности людей.

В экономике игровые модели возникают, например, при попытке нескольких фирм завоевать наиболее выгодное место на конкурентном рынке или при желании нескольких компаний разделить финансовые средства между собой так, чтобы каждому досталось как можно больше.

Конечной целью исследования любой игры является нахождение оптимальных стратегий игроков и их выигрышей, соответствующих этим стратегиям.

Наиболее изучены игры двух лиц с нулевой суммой. Это означает:

1) наличие двух игроков (условно: А и В, или, нападающий и защитник)

2) наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также стратегиями.

3) Игроки одновременно и независимо выбирают стратегии, после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.

4) Все возможные выигрыши игрока А перечисляются в платежной матрице:

Почему нет матрицы игрока В?

Строки матрицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В.

Как же должны действовать игроки?

Рассмотрим пример платежной матрицы:

Если игрок А выберет 1-й ход, то в наихудшем для него случае игрок В сделает 3-й ход. Если игрок А сделает 2-й ход, то игрок В ответит 1-м ходом и т.д. Предвидя подобное, игрок А будет стремиться максимизировать минимальный выигрыш. Т.е. выбирать стратегию из условия: max (min a_{i j)}.

Обозначим α = max (min a_{i j)} и назовем нижней ценой игры.

(практически - в каждой строке матрицы ищется минимум и из них выбирается максимум).

α можно назвать также гарантированным выигрышем игрока А.

Встанем на точку зрения игрока В. Рассуждая аналогично, он будет выбирать стратегию из условия min (max a_{i j)}.

Обозначим β = min (max a_{i j)} и назовем верхней ценой игры.

(практически - в каждом столбце матрицы ищется максимум и из них выбирается минимум).

β можно назвать также гарантированным проигрышем игрока В.

Заметим, что в нашем примере α = β = 4. Подобную игру называют игрой с седловой точкой (она выделена в матрице).

Стратегии, соответствующие седловой точке (3-я для А и 2-я для В) и будут оптимальными. Почему?

В самом деле, если игрок А отклонится от оптимальной стратегии, выбрав, например 4-й ход, игрок В ответит ему 3-м ходом, уменьшив выигрыш А до 2 и т.д.

Пара оптимальных стратегий (3,2) является, как бы равновесной парой (на языке теории игр - равновесие по Нэшу).

Замечание: наличие в игре седловой точки - далеко не правило, скорее исключение. Тем не менее, существует класс игр, заведомо имеющих седловую точку - игры с полной информацией (шахматы, крестики-нолики).

Дата добавления: 2014-12-27